複素冪級数

質問

f(z)=Σ[∞,n=1] (z^n)/n　(z∈C)

においてf(z)が収束するような|z|=1上の部分集合を求めるにはどうすればいいのでしょうか。

z=-1で収束するのは分かりますが他が分かりません
よろしくお願いします。

回答No.4

noname#123075 · ベストアンサー

Σ[∞,n=1]cos(nΘ)/n, Σ[∞,n=1]sin(nΘ)/n (但し0<Θ<2π)
が果たして収束するかどうか考えてみよう。

お礼

z=cos(nθ)+isin(nθ)とおけば|z|=1ですもんね

回答No.3

koko_u_u

>=√(-1)Σ[∞,n=1](-1)^(n-1)/(2n-1) - Σ[∞,n=1](-1)^(n-1)/2n

当然そのような「順番の変更」は認められません。しかし、収束するかどうかは別問題です。
ライプニッツの判定法をどのように証明したかを考えましょう。

回答No.2

koko_u_u

>だからライプニッツの判定法より収束

では、例えば z = √(-1) の場合に、ライプニッツの判定が適用できるか考えて補足にどうぞ。

補足

f(√(-1))=Σ[∞,n=1] √(-1)^n/n
=√(-1)Σ[∞,n=1](-1)^(n-1)/(2n-1) - Σ[∞,n=1](-1)^(n-1)/2n

1>1/3>...>1/(2n-1)>...>0
1/2>1/4>...>1/2n>...>0

1/(2n-1)→0,1/2n→0 (n→∞)

で収束…ですか？
この場合適用できないのでしょうか…

回答No.1

koko_u_u

> z=-1で収束するのは分かりますが

では、その証明を補足にどうぞ。

補足

f(-1)=Σ[∞,n=1] (-1)^n/n
これは交代級数

1>1/2>...>1/n>...>0
1/n→0 (n→∞)

だからライプニッツの判定法より収束