熱・統計力学 等積変化後の温度

質問

次の問題がわからなくて困っています。どなたか解説をお願いします。

シリンダー内に理想気体１モルが初期状態[P(0),T(0),V(0)]で存在する。
この初期状態から状態(1)[P(1),V(1),T(0)]に等温膨張させる。
次に状態(2)[(P(2),V(1),T(2)]へ等積変化させる。
さらに状態(2)から初期状態に断熱圧縮させた。

このとき状態(2)の温度T(2)は、次式で与えられることを証明せよ。
T(2)=T(0)×(V(0)/V(1))^γ-1 , γ=C(p)/C(v)

断熱可逆変化で体積が変化するなら、上式は導けると思うのですが、
状態(2)へは等積変化しているので（断熱でもない？）、よくわかりません。

ではよろしくお願いします。

回答No.1

okormazd · ベストアンサー

始めの状態を(0)とする。

(0)→(1)の変化、等温だから、
P(0)V(0)=P(1)V(1)
よって、
P(1)=V(0)/V(1)・P(0)・・・1

(1)→(2)の変化、等積
P(1)V(1)=nRT(0)
P(2)V(1)=nRT(2)
から、
P(1)/P(2)=T(0)/T(2)
で、
T(2)=P(2)/P(1)・T(0)・・・2

(2)→(0)の変化、断熱
P(2)/P(0)=(V(0)/V(1))^γ・・・3

2式に1式を入れて、
T(2)=P(2)/P(1)・T(0)=V(1)/V(0)・P(2)/P(0)・T(0)
これに、3式を代入すれば、

T(2)=V(1)/V(0)・P(2)/P(0)・T(0)
=V(1)/V(0)・(V(0)/V(1))^γ・T(0)
=(V(0)/V(1))^(γ-1)・T(0)

になる。

回答No.4

hitokotonusi

膨張と圧縮を間違えたので図を書き直しました。
やっぱりいがんでますw

どうにもうまく描けない。

お礼

お手数おかけしました。
参考になります。ありがとうございました。

回答No.3

hitokotonusi

＞断熱可逆変化で体積が変化するなら、上式は導けると思うのですが、

当然変化しますよ。落ち着いて考えましょう。

過程1：等温膨張

温度一定、体積増加、圧力減少。
ボイルの法則により、体積と圧力の関係は双曲線。

過程2：等積過程
体積一定、温度、圧力変化。
ボイル=シャルルの法則から温度と圧力は比例。
増加か減少かは自分で考えろということでしょうか。

過程3：断熱変化
温度、体積、圧力、全て変化。
それぞれの関係はANo.2さんの回答にあります。

手書きなのでずいぶんといがんでますが、図を参照してください。

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回答No.2

noname#185706

題意がよくわかりません。

状態２(V1,T2)から初期状態(V0,T0)への断熱圧縮は可逆変化でしょうから、

>断熱可逆変化で体積が変化するなら、上式は導ける

でよいはずです。つまり、状態２と初期状態を直接結べばよく、途中の状態(1)を考える必要はないと思います。

何を「証明せよ」というのでしょう？
P V^γ = 一定
の式と状態方程式から
T V^(γ-1) = 一定
を導けというのなら、こんなまどろっこしい過程を考える必要はありませんし・・・。

何か私が勘違いしているのでしょうか？