媒介変数と領域

質問

θが０から２Πまで変わる時、平面上の点Ｐ（cos＾２θ、cos＾２θ）、Ｑ（sin＾２θ、－sin＾２θ）を結ぶ直線が通らない点全体の範囲を図示せよ。
が分かりません。また、これに関連する分かりやすいサイトなどがあれば教えて下さい。宜しくお願いします。

回答No.3

mister_moonlight

余り、馬鹿正直にやる必要もないし、わざわざ問題を難しくする必要もない。
問われている事は、至ってsimpleな事なんだから。

f(t)=2t^2-2(y+1)t+(x+y)＝0　とおけば、f(t)=0 が 0≦t≦1 の範囲で実数解をもたないことが必要十分条件になります。
と、ここまでは良い。問題は、その後。

0≦t≦1 の範囲で実数解を持つ条件を求め、それを否定してやると良い。

(1)f(t)=0 が 0≦t≦1 の範囲で2個の実数解を持つ時
判別式≧0、f(1)≧0、f(0)≧0、0≦軸≦1であるから、y＾2＋1≧2x、x＋y≧0、x-y≧0、-1≦y≦1

(2)f(t)=0 が 0≦t≦1 の範囲で1個の実数解を持つ時
f(1)*f(0)≦0が条件から、(x+y)*(x-y)≦0

以上が直線の通過できる領域だから、通過できない領域は、(1)と(2)の領域を除外した部分となる。

回答No.2

Mr_Holland

1)　先ず直線PQの方程式を求めて下さい。次のようになると思います。
　　{x-(cosθ)^2}*{(cosθ)^2+(sinθ)^2}={y-(cosθ)^2}*{(cosθ)^2-(sinθ)^2}
　⇔2(cosθ)^4-2(y+1)(cosθ)^2+(x+y)=0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・☆

2)　ここで　直線PQが通らない条件を考えますと、式☆を満たすθが存在しないということと必要十分です。
　θの範囲は　0≦θ＜2π　ですので、0≦(cosθ)^2≦1 となります。
　式☆で(cosθ)^2=t として
　　f(t)=2t^2-2(y+1)t+(x+y) =2{t-(y+1)/2}^2-y^2/2+x-1/2
とおけば、f(t)=0 が 0≦t≦1 の範囲で実数解をもたないことが必要十分条件になります。

3)　さて、f(t)=0 が 0≦t≦1 の範囲で実数解をもたない条件ですが、f(t)=0 の2解をα,β(α≦β)とすると次のように場合分けされます。

　A) f(t)=0 が実数解もたない：　　　　　　　　D/4<0
　B) f(t)=0 が α,β<0 の2実解をもつ：　　　D/4≧0, f(0)>0, 軸:(y+1)/2<0　
　C) f(t)=0 が α,β>1 の2実解をもつ：　　　D/4≧0, f(1)>0, 軸:(y+1)/2>1
　D) f(t)=0 が α<0, β>1 の2実解をもつ：　f(0)<0, f(1)<0　

　これらをまとめると、次の条件が得られます。

　　「x>y^2/2+1/2」または 「y<-x かつ y>x」または「y>-x かつ y<x かつ (y<-1 または y>1)」

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

まず、どこまで考えましたか？
ぜひとも、それを書いてほしいです。
計算はしなくとも、「こうすれば？」ということだけでもいいので。＾＾