x<1の時、e^x <= 1/(1-x) である事を示せ

質問

x<1の時、e^x <= 1/(1-x) である事を示せ

とりあえず自分で考え解いてみたのですが、これだと、途中でe^xが1/(1-x)を超えてしまう可能性を否定出来ていません。まずそんなことは無いのは分かるのですが、どう証明すればいいのでしょうか？

lim[x->1]e^x=e , lim[x->1]1/(1-x)=∞ ∴lim[x->1]の時e<1/(1-x)
lim[x->0]e^x=1 , lim[x->0]1/(1-x)=1 ∴lim[x->0]の時e=1/(1-x)
lim[x->-∞]e^x=0 , lim[x->1]1/(1-x)=0 ∴lim[x->-∞]の時e=1/(1-x)
これらによりe<1/(1-x)である

回答No.3

R_Earl · ベストアンサー

ANo.2ですが書き忘れです。

> (2) f(x) / g(x) ≦ 1を証明する

この方法が使えるのはg(x)が常に正の数の時ですね。
g(x)が常に負の数の時の場合は

f(x) ≦ g(x)
↓
f(x) / g(x) ≧ 1

というように不等号の向きを反転させる必要があります。

g(x)が正負両方の値を取る時は、場合分けしてあげれば使えます
ただそうなると面倒なので、そんな時は(2)の方法をあまり使わないですね。

それから、(2)の方法を使うと、ANo.1の方と同じような解答になると思います。

お礼

細かく説明していただきありがとうございます。やっと理解できました。

回答No.2

R_Earl

f(x) ≦ g(x)が成り立つ事を示すには次のような方法があります。

(1) f(x) - g(x) ≦ 0を証明する。
f(x) ≦ g(x)のg(x)を左辺に移行した形です。
f(x) - g(x) = h(x)とでもおいて、
h(x)の増減を考えてあげましょう。
今回の問題の場合、h(x) = (e^x) - {1 / (1 - x)}となります。

(2) f(x) / g(x) ≦ 1を証明する
f(x) ≦ g(x)の両辺をg(x)で割った形です。
先ほどと同様にf(x) / g(x) = h(x)とでもおいて、
h(x)の増減を考えます。
今回の問題の場合、h(x) = (e^x) / {1 / (1 - x)}となります
(式変形するとh(x) = (1 - x)e^xとなります)。

お礼

細かく説明していただきありがとうございます。やっと理解できました。

回答No.1

Anti-Giants

f(x) = (1-x)e^x
f’(x) = -xe^x
f(x) ≦ f(0) = 1

お礼

すみません、(1-x)を移動させて(1-x)e^xにしたのは分かりますが、
何故f(x) = (1-x)e^xの形にしたのか、そして何故微分しているのか分かりません。