三角形の相似（２）

質問

拡大をしてみました。よろしくお願い致します。

回答No.2

OKXavier

三角形の相似を使っての解答を求めれれて
いたのですね。

相似を利用してやり直します。
点Cから直線BDに垂線を下ろし、その足をE
とすると、

△ABP∽△CBE　だから　AP:CE=2:3
したがって
BP:PE=2:1 ‥‥(1)
また、△APD∽△CED　だから　PD:DE=2:3 ‥‥(2)

(1)(2)から、BP:PD=2:2/5=10:2=5:1

回答No.1

OKXavier

ベクトルでやってみましょう。矢線は省略しますので、適宜付けて下さい。

点Bを起点とする点A,点C,点Dの位置ベクトルをa,b,c
とします。

tを実数として
c=t(a/2+b/3)とおくと、点Dが辺AC上にあるから、
t(1/2+1/3)=1
これから、t=6/5
したがって、c=(3/5)a+(2/5)b

sを実数として
ベクトルBP=sc　とおくと(a,c)/|c|=|sc|、 （ただし(a,c)はaとcの内積）
これから、
s=(a,c)/|c|^2
={(3/5)|a|^2+(2/5)(a,b)}/|(3/5)a+(2/5)b|^2
={60+10(a,b)}/{72+12(a,b)}
=5/6

したがって、BP:PD=s:1-s=5:1