相似変換について

質問

線形変換には、回転、拡大縮小、反転、ずらしの４種類がありますが、このうち相似変換となるのはどれですか。

回答No.5

stomachman · ベストアンサー

ANo.4へのコメントについてです。

> 対角

　もしかすると、用語に混乱があるかも。
　幾何学で言う図形の合同・相似と、行列の相似とは別の概念である。で、ANo.4 は幾何学の話をしてます。ある図形と、それを変換した結果の図形とが互いに相似であるかどうか、ということです。

　けれども、もしかしてご質問は行列のほうの話？もしそうだとすると、「変換Aは相似か？」というのは問いになっていない。「変換Aと変換Bは互いに相似か？」と問うのでなくてはね。

　あるいはひょっとして、「ある変換Bは（何かの変換の）相似変換になりうるか？」というのがご質問なのでしょうか。だとすれば、それは問うまでもないことです。なぜなら、勝手な変換Aと勝手な正則行列Pについて、
　　B = (P^(-1))AP
とすると、Bは（P に関する、Aの）相似変換である。そこでどんな変換Bであろうとも、なんでもいいから正則行列Pをひとつ持ってきて、
　A = P B (P^(-1))
を作れば、（ B = (P^(-1))AP が満たされますから、）「変換Bは（Pに関する、Aの）相似変換になる」訳です。

お礼

＞　幾何学で言う図形の合同・相似と、行列の相似とは別の概念である。

これは全くの初耳で驚いてます。
線形代数でも相似変換、合同変化という表現をします。
これは幾何学的な相似、合同を代数的に表現したものではないでしょうか。
したがって幾何学で言う図形の合同・相似と、変換行列の合同・相似は同じ概念でないと話が成り立たないのではないですか。

＞あるいはひょっとして、「ある変換Bは（何かの変換の）相似変換になりうるか？」というのがご質問なのでしょうか。だとすれば、それは問うまでもないことです。なぜなら、勝手な変換Aと勝手な正則行列Pについて、
　　B = (P^(-1))AP

ここでBが対角行列であれば、Aは対角化できたことになり、この時点にてAとBは相似になると普通の線形代数では説明されていると思いますが。

回答No.6

stomachman

ANo.5へのコメントについてです。

> 幾何学で言う図形の合同・相似と、変換行列の合同・相似は同じ概念でないと話が成り立たないのではないですか。


　「話が成立たない」ってのが、さてどういう意味なのかは分かりかねますが、ともかく
　　(1) 幾何学で言う図形の合同・相似と、変換行列の合同・相似は同じ概念だ
と仰るのですね。一方、ANo.4へのコメントにおいて、（平行移動ではなく、長方形が平行四辺形になる変換のことを意味する）「ずらす」について

> これだと既に対角化されているので相似変換

とも仰っています。なので、ANo.4の最後に書いてある変換を実際にやってみりゃいいでしょう。(x,y)=(0,1), (1,0), (0,-1), (-1,0)を頂点とする正方形に
2 0 0
0 1 0
0 0 1
を作用させれば、頂点はもちろん(0,1), (2,0), (0,-1), (-2,0)になり、これは（正方形ではなく）ヒシ形です。（平行移動ではなく、長方形が平行四辺形になる変換のことを意味する）「ずらす」ってのはこういう意味ですよね。

　で、
　　(2) 「ずらす」は相似変換だ
と仰る。

　(1)と(2)が両立するということは、すなわち、幾何学において「どんな三角形も互いに相似だ」とお考えである、ということになります。なるほど(1)(2)が共に成立つという意味で幾何学の用語「相似」をお使いなのであれば、めでたく（どういう意味かは知りませんが）「話が成立つ」ことになりましょう。

　なお、あちしがギム教育で習った幾何学の「相似」と(2)の主張とは相容れませんが、それは用語の定義の違い、ということですね。

回答No.4

stomachman

平行移動は、たとえば2次元の図形なら、直交座標系上の点(x,y)（x,yは実数）を3次元縦ベクトル
x
y
1
で表して、これに
1　0　u
0　1　v
0　0　1
という行列を左から掛けることとして表現される線形変換を行うということです。その結果は
x+u
y+v
1
というベクトルになり、つまり、点(x,y)が変換によって点(x+u, y+v)に写ります。

　同様に、回転は
c　-s　0
s　 c　 0
0　 0　1
（ただしc^2 + s^2 = 1)
反転は
-1　0　0
0　1　0
0　0　1
拡大縮小は
k　0　0
0　k　0
0　0　1
　（ただしk>0）
を掛けるんです。

　これらの行列を幾つでもいろんな順番で組み合わせて積をとったものは、結局
±p　∓q　m
q　 p　 n
0　 0　 1
(ただし、p^2 + q^2 = r, r>0)
という形にまとめられ、これは2次元図形の相似変換を全部尽くしています。

　「ずらす」が長方形が平行四辺形になる変換のことを意味するのであれば、それは相似変換ではありませんね。
a　0　0
0　b　0
0　0　1
　（ただしa>0, b>0, a≠b）
で表されます。

お礼

＞　「ずらす」が長方形が平行四辺形になる変換のことを意味するのであれば、それは相似変換ではありませんね。
a　0　0
0　b　0
0　0　1
　（ただしa>0, b>0, a≠b）
で表されます。

これだと既に対角化されているので相似変換になってしまうのでは？

回答No.3

stomachman

回転、反転、ずらし（って平行移動のことですよね？）は、相似変換ですけど、特に合同変換と呼ばれるもの。
直交基底の各成分に掛かる倍率が同じである拡大縮小は、倍率が1と-1以外の時には、合同変換ではない相似変換。

お礼

図形をずらす（例：長方形をずらすと平行四辺形になる）とその形状が変わりますがこれも相似変換なのですか？

補足

平行移動は線形変換ですか。
横に+1、上に+2平行移動させる変換行列はどんな行列ですか。

回答No.2

spring135

回転、反転、ずらし

回答No.1

qadragon

反転以外は相似だと思います。