シンプソン公式

質問

数学が苦手で、わからないので教えていただきたいのですが。

（１）区間0≦ｘ≦1において関数f(x)=1-x^2を台形公式で近似計算するとき、どんなことがいえるのでしょうか。

（２）区間-1≦ｘ≦1において関数f(x)=|1/4-x^2|をシンプソン公式で計算するとき、どんな方針でやればいいのでしょうか。

以上、よろしくお願いいたします。

回答No.3

spring135 · ベストアンサー

No.2です。
質問に答えます。
（1）そうです。
（2）ｘ軸対称なの0≦x≦1で計算し、結果を２倍します。
　　　分割は
　　　0≦x≦1/2　　　(1)
　　　1/2≦x≦1　　　(2)
　　の２分割です
(1)ではシンプソン公式によれば
　（1*1/4+4*3/16+1*0)*(1/2)/6=1/12
(2)では
　（1*0+4*5/16+1*3/4)*(1/2)/6=1/6
よって積分は
　　（1/12+1/6)*2=1/2

3/16はx=1/4, 5/16はx=3/4におけるf(x)
の値です。

真の積分値と比べてみてください。

お礼

ご回答ありがとうございました。
よくわかりました。

回答No.2

spring135

（1）曲線の下の面積を分割点と隣の分割点とで構成する台形の面積に置き換えているわけです。従って、f(x)=1-x^2（0≦ｘ≦1）の場合の正しい値よりは必ず小さめに出ます。分割を細かくすれば正解に近づきますが正解に達することはありません。

（2）f(x)=|1/4-x^2|はx=±1/2でx軸と接し、これ以外の点ではすべて正で、y軸に関して対称です。従って0≦x≦1/2と1/2≦x≦1に分けて計算し、２倍すればよいでしょう。シンプソン公式は曲線一般を２次曲線に置き換えて計算することと等価です。従って、この場合シンプソン公式による数値積分は正解を与えます。

お礼

ご回答ありがとうございます。
（１）近似値は常に真の積分値よりも小さいということですか。

（２）何等分すればよいのでしょうか。

回答No.1

Tacosan

いろいろ考えられそうだが, 例えば
(1) 分点を無限個設定すれば正確な値が計算できる
(2) 偶関数
でいい?

お礼

ご回答ありがとうございます。
無限個の計算はどうやるんですか。
偶関数ってどこからでてくるんですか。