統計学（t値を2乗するとF値になる）について

質問

本に「t値を2乗するとF値になる」とあり、実際に確かめてみたところ、たしかに両者の値は一致しました。
しかし、なぜそうなるのかがわかりません。
本には、
t=（標準正規分布に従う変量）／【（自由度nのカイ2乗分布に従う変量／n）の平方根】であり、
F=【（自由度nのカイ2乗分布に従う変量）＾2／n】／【自由度mのカイ2乗分布に従う変量／m】に2乗すると一致すると解説がありました。
しかし、「tってこんな値だっけ？」という点でひっかかっています。例えば、分子は「標準正規分布に従う変量」となっていますが、私が学んできたt値の分子は例えば「得られたデータの平均－μ」や「標本平均の差」などであり、標準誤差で割らないと「標準正規分布に従う変量」にならないのでは？と思ってしまいます。分母は尚更わかりません。
どなたか、噛み砕いて教えて頂けると有難いです。宜しくお願い致します。

回答No.2

noname#227064 · ベストアンサー

> 「不偏分散に（N－1）／σ＾2を掛けたものが自由度N－1のカイ2乗分布に従う」だけがわかりませんでした。

(X1-μ)/σ, (X2-μ)/σ, ... (XN-μ)/σがそれぞれ標準正規分布に従うので、Σ(Xi-μ)^2/σ^2が自由度Nのカイ二乗分布に従いますが、通常は母平均μの値は未知なのでその推定量の標本平均mで代用します。
この標本平均で置き換えたΣ(Xi-m)^2/σ^2が、何故自由度N-1のカイ二乗分布に従うのかを厳密に証明しようとすると少し難しい話になります。（例えば参考URLのように）

乱暴な説明をすれば、Σ(Xi-m)^2/σ^2の分布はΣ(Xi-μ)^2/σ^2の母平均をを標本平均で置き換えただけだから、自由度Nのカイ二乗分布に似た分布になる。そして、母平均の推定したため自由度を一つ失ったので自由度N-1のカイ二乗分布に従うというのはどうでしょう。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q1710524.html

お礼

お手数お掛けしました。前半の解説で、「なるほど！」と思い、疑問点が氷解しました。また、「N－1のカイ2乗分布に従う」も、イメージ的に理解できました。本当にありがとうございました。

回答No.1

noname#227064

X1, X2, ... XNをiidに平均がμ、分散がσ^2の正規分布に従う確率変数とします。
このとき、標本平均mは平均がμ、分散がσ^2/Nの正規分布に従い、不偏分散s^2に(N-1)/σ^2をかけたものは自由度N-1のカイ二乗分布に従います。
ここまではOKですよね。

さて、あなたが学んだｔ値は、
t = (m-μ)/(s/√N)
でしょうが、これの分子と分母をそれぞれσ/√Nで割ってみましょう。
t = {(m-μ)/(σ/√N)}/{(s/√N)/(σ/√N)}
= {(m-μ)/(σ/√N)}/(s/σ)
= {(m-μ)/(σ/√N)}/√[{(N-1)s^2}/{(N-1)σ^2}]

標本平均mは平均がμ、分散がσ^2/Nの正規分布に従いますので、
(m-μ)/(σ/√N)
は標準正規分布に従い、
(N-1)s^2/σ^2
はカイ二乗分布に従いますので、
結局、
t = (m-μ)/(s/√N)
= （標準正規分布に従う変量）／【（自由度N-1のカイ2乗分布に従う変量／(N-1)）の平方根】
となります。

お礼

ご回答有難うございました。一点を除きすべてすっきりわかりました。恥ずかしながら、私の現在の知識は、「標準正規分布に従う変量をN個持ってきて、それらを2乗したものを足したのがカイ2乗分布」程度なので、「不偏分散に（N－1）／σ＾2を掛けたものが自由度N－1のカイ2乗分布に従う」だけがわかりませんでした。もしよろしければ、この点も教えて頂けると有難いです。