自然対数 ln2 の性質（半減期、倍増期）

質問

よろしくお願い致します。

放射性物質の減衰は

崩壊定数 X 半減期＝ln2

（崩壊定数：原子核が1秒間に崩壊する確率）
（半減期：放射性核種が1/2になるのに要する時間）

で表されます。

このln2（=0.693）、複利計算の倍増期でも現れる（wikipedia）そうなのですが、なにか意味のある値なのでしょうか。

数学が苦手なので質問も分かりづらいかもしれませんが、よろしくお願い致します。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。

放射性物質の量を表す式は、
N(t)＝ N(0)* e^(-kt)
（N(t)：時刻 tにおける量、N(0)：初期量、k：崩壊定数）

と表されます。
半減期をτとすると、元の半分の量になる時間がτということですから
N(0)/2＝ N(0)* e^(-kτ)
1/2＝ e^(-kτ)
2^(-1)＝ e^(-kτ)
-kτ＝ -ln(2)

よって、kτ＝ ln(2)となります。
この「2」は半減期（1/2）の 2を表していて、
そのときまでの時間（つまりは半減期）を用いているので 2が現れているだけです。

もし 1/3になるまでの時間をσとおけば、
kσ＝ ln(3)

となります。

さほど深い意味はないかと思います。＾＾；

お礼

なるほど。
「半分」とか「2倍」だからln(2)なんですね!!
よくわかりました。
丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.3

spring135

放射性物質の出す放射能の強度は
N=Noe^(-λt) (1)
で表されます。この放射能の強度Nが最初の強度Noの半分になるとき
N/No=1/2=e^(-λt)
これより
λt=ln2
となります。

年利rで複利でMo円のお金を借りるとｎ年後に返すべき金額(元利合計）は
M=Mo(1+r)^n
元利合計が借りた時の金額の２倍になる年nは
M/Mo=(1+r)^n=2
対数を取ると
nln(1+r)=ln2
よって
n=ln2/ln(1+r)
ここでもln2が出てくるということでしょう。
上式はrが決まっている時のｎの計算に用いますが
N年後に2倍となる利率は
r=e^(ln2/N)-1
でもとめられます。

要は指数関数において２倍とか1/2とかを考えるときにln2が出てくるということです。

お礼

詳細、丁寧な回答ありがとうございます。
よくわかりました。

回答No.1

info22_

半減期は崩壊曲線の関数がe^(-t)なので
まだ崩壊していない量が半減する（1/2になる）期間tを半減期というから
e^(-t)=1/2
を解くと
-t=ln(1/2)=-ln(2)
t=ln(2)
となります。

また複利計算でも同じような式がなりたつからln(2)が現れるということです。

お礼

よくわかりました。
ありがとうございました。