断熱変化を準静的にしなかったら？

質問

物理の教科書などでは、「断熱変化」は準静的な変化だと書かれていました。
つまり、断熱性のピストン（中に気体あり）を断熱圧縮するとき、
限りなくゆっくりピストンを押さなければならないということなのでしょうが、
もし急激にこのピストンを押して中の空気を縮めたら、どうなるのでしょうか？
これは断熱圧縮にはならないのですか？

回答No.1

jamf0421 · ベストアンサー

断熱変化でも準静的にやるのと、不可逆的にやるのとが可能です。だからとくに断熱可逆変化とことわるのです。エントロピー変化を
dS=dQ/T
のように書きますが、これは可逆変化の時で一般には
dS≧dQ/T
です。これはエントロピー生成があるからです。だから状態量の変化を計算するときに、同じ終点にもっていくのに可逆ルートを考えて（つまりエントロピー生成がない）計算するのです。
急激に押し込む断熱圧縮ももちろん可能です。1 molの気体の圧がPiで、これに対してPe>Piの圧で押し込めばピストンは有限の速度で押し込まれ、断熱不可逆圧縮です。ガスの体積はVi→Vfと変化したとします。たとえばVf=(1/2)Viとします。ガスのもらった仕事は
w=-PeΔV=-Pe(Vf-Vi）=Pe(Vi-Vf)=(1/2)PeVi...(1)
です。内部エネルギーの上昇は
ΔU=Pe(Vi-Vf)=(1/2)PeVi...(2)
温度上昇は内部エネルギーを定容比熱で割って
ΔT=Tf-Ti=(1/2)PeVi/Cv...(3)
となります。ここでVi=RTi/Piとして
ΔT=(1/2)PeRTi/PiCv
とかけますので
Tf1=Ti(1+(1/2)PeR/PiCv)...(4)
を得ます。これが断熱的にPeで押し込んで体積を半分にした時の最終温度です。

一方、もし準静的過程でViからVfに変化させたら、温度は
Tf2=Ti(Vi/Vf)^(γ-1)...(5)
です。γ=Cp/Cvです。ここでVi/Vf=2と仮定した場合は(3)は
Tf2=Ti*2^(γ-1)...(6)
ここで単原子理想気体ならば、Cv=(3/2)R, Cp=(5/2)R, γ=5/3と看做せて
Tf2=1.5874Ti...(7)
となります。

さて(4)の方をさらに計算をすすめると
Tf1=Ti(1+(1/2)(Pe/Pi)(R/Cv))
=Ti(1+(1/3)(Pe/Pi))...(8)
です。ところでPe>Pf=R*Tf/Vf=2R*Tf/Vi(∵Vf=(1/2)Viを仮定）なので(8)は
Tf1/Ti=1+(1/3)(Pe/Pt)>1+(2/3)R*Tf1/ViPi
となり
Tf1/Ti>1+(2/3)R*Tf1/RTi
(1-(2/3))Tf1/Ti>1
Tf1/Ti>3...(9)
(9)と(7)を比べると
Tf1>Tf2...(10)
になります。Peが高ければ高いほど（より高速で押し込むほど）準静的に断熱圧縮したときより高い温度になります。だから同じ最終状態に準静的過程で持ち込むには、更に加熱する過程が必要です。加熱する、ということはこの気体のエントロピー増大を意味します。つまり準静的でなく加熱したらエントロピーが増大していることになります。

お礼

ご教授感謝します！
なるほど、「エントロピー」というのが熱力学には大きくかかわっているのですね。
高校生の私にはこの「エントロピー」がどういうものなのか漠然としかわかりませんが、
数式による説明はわかりやすかったので納得できました。
また、大学物理への期待も大きくなりました。
本当にありがとうございます。

回答No.2

chokiplay

教科書的な説明は他の人の文を読んでもらう事にして、
イメージしやすい例をあげましょう。
ピストンを押す時、中の気体分子はピストンにスピードがあるので
加速されます。
ピストンが速くても遅くても受け取るエネルギーが同じなら良いのですが、
そうはいきません。ピストンが速くなればドンドン高エネルギーになります。
どうせ思考実験なので景気よく光速の99.999999％でピストンを押し込みましょう！
中の体積が半分になったところでピストンをピタリと止めると、、、
「中の気体が暖かくなる」なんてもんじゃないのは想像できますよね？

中の気体がプラズマ化？したエネルギーは、もちろんこのピストンを押した
あなたの腕から供給された訳ですが、ピストンをゆっくり引き戻しても、
光速の99.999999％で引き戻しても気体からあなたの腕には戻りません。
超高温のままです。

まあ、ここまで極端にしなくても断熱圧縮にはなりません。

余談ですが、、、
実はどんなにゆっくりピストンを押しても、厳密には断熱圧縮にはなりません。
違いをほとんど無視できる。という意味と、
「ピストンのスピードを限りなく０に近づけていけば、
断熱圧縮に限りなく近づく。」
という、なんだかすっきりしない意味で”準”静的な変化なんです。