ヘシアンが0の場合どうやって極値が存在することを調べればよいのでしょう

質問

ヘシアンが0の場合どうやって極値が存在することを調べればよいのでしょうか。

R^2上で定義されたｆ(x,y)=x^4+2y^4-3(x-2y)^2について、

停留点は(0,0)(√3/2,-√3/2)(-√3/2,√3/2）と出たのですが、(x,y)=(0,0)のときヘシアンが0になってしまいました。

どなたか教えて頂けるとありがたいです。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>(x,y)=(0,0)のときヘシアンが0になってしまいました。
>ヘシアンが0の場合どうやって極値が存在することを調べればよいのでしょうか。

この場合の(x,y)=(0,0)は鞍点f(0,0)=0になりますので極値の停留点にはなりません。
これを調べるには(x,y)=(0,0)の近傍でf(x,y)の符号が正にも負にもなることを示せばいいです。
x=t+Δt,y=-(t+Δt)とおいてt→0とすると
g'(t)=6(2t^3-9t),g'(0)=0
g"(t)=18(2t^2-3),g"(0)=-54
f(x,y)=f(t+Δt,-(t+Δt))=g(t+Δt)→g(0)+g'(0)Δt+(g"(0)/2)Δt^2+R3=-27Δt^2<0
f(x,y)はx=-y=t(t→0)の近傍で負になる。

また
x=2(t+Δt),y=(t+Δt)とおいてt→0とすると
h(t)=18t^4
h(t+Δt)=18(t+Δt)^4,h(Δt)=18Δt^4
f(x,y)=f(2(t+Δt),(t+Δt))=h(t+Δt)→18Δt^4>0
f(x,y)はx=2y=t(t→0)の近傍で正になる。

以上から(x,y)→(0,0)への近付き方により(0,0)の近傍でf(x,y)が負の場合と、正の場合がある。つまり(0,0)は極値点ではなく、鞍点であると言える。

お礼

ありがとうございます!!
ではｆは極値をとらないんですね!!
助かりました(^^)