入試対策の問題集の問題なのですが、

質問

入試対策の問題集の問題なのですが、
解き方がよくわからず、困っています；
途中計算や解説のようなものを教えていただけると助かります。
範囲は、数IIIの【定積分の部分積分法】です。

関数f(x)=(1/2)x+∫[1,2x](3t-4x)tlogtdt (x＞0)について。

(1)f(x)の導関数f'(x)について、f'(x)=0を満たすxの値を求めよ。
(2)f(x)の極値を求めよ。
（↑極値を求める際、表は必要でしょうか？）

宜しくお願い致します。

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

(1)　f(x)を求めずに f'(x)=0 となるxの値を求めることもできますが、(2)で極値を求める際にf(x)が必要になりますので、与えられた式の積分を実行してf(x)を求めておきます。
　　（幸い、この積分は部分積分を使えば難しくありませんので。）

　f(x)
=x/2+∫[t=1→2x] (3t-4x)t log(t)dt
=x/2+∫[t=1→2x] (3t^2-4xt)log(t)dt
=x/2+[(t^3-2xt^2)log(t)][t=1→2x] -∫[t=1→2x](t^3-2xt^2) 1/t dt　　←(3t^2-4xt)とlog(t)部分積分を実行。
=x/2+0-∫[t=1→2x](t^2-2xt)dt
=x/2-[t^3/3^xt^2][t=1→2x]
=4x^3/3-x/2+1/3

∴f'(x)=4x^2-1/2

　従って、x>0 でf'(x)=0 を満たすxはx=1/(2√2)だけとなります。

(2)　f'(x)はx=1/(2√2)の前後で符号が反転しますので、f(1/(2√2))は極値です。
　　（このことを明示するために増減表を書いても構いません。）
　　あとは上で求めたf(x)にx=1/(2√2) をそのまま代入するだけです。
　　　f(1/(2√2))=1/3-1/(6√2)
と求められると思います。

【(1)の別解】　f'(x)を先に求める方法です。（計算は上の方法に比べ、慣れないと少しややこしく手間がかかります。）
　　f(x)を積分したものをF(x)として、次の関係を利用します。
　　　dF(2x)/dx=2F'(2x)=2f(2x)

　f(x)=x/2+∫[t=1→2x] (3t-4x)t log(t)dt
　　　=x/2+∫[t=1→2x]3t^2 log(t)dt-x∫[t=1→2x]4t log(t)dt　　←微分変数xを積分の外に出すための処置です。

　ここから、f'(x)を求めます。
　f'(x)
=1/2+2×3(2x)^2 log(2x) -2×x×4×2x×log(2x) -∫[t=1→2x]4t log(t)dt
=1/2+24x^2 log(2x)-16x^2 log(2x) -{ [2t^2 log(t)][t=1→2x] -∫[t=1→2x] 2t^2 1/t dt }　　←4tとlog(t)で部分積分を実行。
=1/2+8x^2 log(2x)-{8x^2 log(2x)-0 -∫[t=1→2x] 2t dt }
=1/2 +[t^2][x=1→2x]
=1/2+4x^2-1
=4x^2-1/2

　ここで、f'(x)=0　とおけば　x>0 でx=1/(2√2) が求められます。

　次に、設問(2)で極値f(1/(2√2)) を求める場合ですが、f'(x)を積分しても積分定数が出てきますので、次のように求めます。

　　f(x)=∫f'(x)dx =4x^3/3-x/2+C　（C:積分定数)

　ところで、与えられた式にx=1/2 を代入すると、積分は０になって　f(1/2)=1/4 となるので、これを上の式に代入します。

　　f(1/2)=1/6-1/4+C=1/4
　∴C=1/3
　∴f(x)=4x^3/3-x/2+1/3

　あとは、ここからf(1/(2√2))　を求めます。

お礼

詳しく教えていただき、ありがとうございました！
本当に助かりました！

回答No.2

noname#121794

こんなのは基本中の基本だ。
(1)
f(x)=(1/2)x+3∫[1,2x]t^2logtdt＋4x∫[1,2x]tlogtdt(x＞0)　のとき

∫[1,2x]tlogtdt, ∫[1,2x]t^2logtdtをxで微分したらどうなるかは考えよ。

お礼

ありがとうございました！

回答No.1

alice_44

(2)は、増減表を書かなくても、
平方完成すればよいと思います。

お礼

ありがとうございました！