数学 ２次関数について

質問

何度解いても分からないので教えて頂きたいです。

問題で、x>0, y>0, 2x+y=2のとき、x^2+y^2は？

埋めて頂きたいのが、x=ア, y=イのとき最大値ウ, x=エ／オ, y=カ／キのとき最小値ク／ケをとる。

ご回答お願いいたします。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞問題で、x>0, y>0, 2x+y=2のとき、x^2+y^2は？

＞埋めて頂きたいのが、x=ア, y=イのとき最大値ウ, x=エ／オ, y=カ／キのとき最小値ク／ケをとる。
x>0, y>0, 2x+y=2は、ｘ≧０，ｙ≧０，２ｘ＋ｙ＝２の方がいいと思います。
そうしないと、最大値が求められません。（問題を確認してみて下さい。）

ｘ≧０，ｙ≧０，２ｘ＋ｙ＝２についてグラフを描いて、３つの直線で囲まれた領域内（境界も含む）で、
ｘ^2＋ｙ^2＝ｋ　……（１）とおいて、この原点を中心とする円の半径の最大値と最小値を求めればいいです。

最大値は、グラフから円（１）が（０，２）を通るとき、
ｘ＝０，ｙ＝２のとき、最大値ｋ＝２……アイウ

最小値は、円が直線２ｘ＋ｙ＝２に接するとき
ｙ＝－２ｘ＋２を（１）へ代入して、
ｘ^2＋（－２ｘ＋２）^2＝ｋより、
５ｘ^2－８ｘ＋４－ｋ＝０　……（２）
判別式Ｄ／４＝４^2－５×（４－ｋ）＝０より、
ｋ＝４／５　（２）へ代入して、
５ｘ^2－８ｘ＋４－（４／５）＝０
２５ｘ^2－４０ｘ＋１６＝０
（５ｘ－４）^2＝０より、ｘ＝４／５　直線の式に代入して、ｙ＝２／５
よって、ｘ＝４／５，ｙ＝２／５のとき、最小値ｋ＝４／５　……エオカキクケ

になりました。どうでしょうか？

お礼

ありがとうございます。

やってみたら答えが一致しました！

回答No.1

gohtraw

ｙ＞０　より　０＜－２ｘ＋２　とおくと　ｘ＜１　なので、０＜ｘ＜１の範囲でｘ＾２＋ｙ＾２の最大、最小を求めます。二つの文字があるのでこのままでは最大、最小が求められません。よっていずれかの文字を消去してやります。そのために２ｘ＋ｙ＝２という条件を使います。

２ｘ＋ｙ＝２　より、ｙ＝－２ｘ＋２　ですね。これを　ｘ＾２＋ｙ＾２　に代入し、平方完成します。
ｘ＾２＋ｙ＾２＝ｘ＾２＋（－２ｘ＋２）＾２
　　　　　　　＝５ｘ＾２－８ｘ＋４
　　　　　　　＝５（ｘ－４／５）＾２＋４／５　・・・（１）

ｙ＝５（ｘ－４／５）＾２＋４／５　のグラフは下に凸の放物線になるので、最小値の候補は放物線の頂点、あるいはｘの範囲の両端です。頂点がｘの範囲（この場合０＜ｘ＜１）に入っていれば頂点が最小値を与えます。

（１）より、ｘ＝４／５のとき５（ｘ－４／５）＾２＝０となり、（１）の値は４／５です。またこのときのｙの値はー２ｘ＋２＝２／５となります。ｘ＝４／５は０＜ｘ＜１に含まれているのでこれが最小値です。

一方最大値の候補はｘの範囲の両端です。ｘ＝０のときｙ＝２なのでｘ＾２＋ｙ＾２＝４、ｘ＝１のときｙ＝０なのでｘ＾２＋ｙ＾２＝１となり、前者の場合（ｘ＝０）のときが最大値になります。

どこが最大値、最小値になるかは放物線の図を書いてみると判りやすいと思います。

お礼

丁寧にご回答ありがとうございました。

自分でもう一度やってみます。