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２次関数の解法と要約
- ２次関数についての問題の解法と要点を解説します。
- 問題で求められる各項目の解答方法と意味を説明します。
- 正方形の面積や角の２等分線との交点についても分かりやすく解説します。
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(1) この問題くらいは解るはずです。解こうとしていますか？ 点Aからx軸上に下ろした垂線とx軸との交点がP(p,0)なんだから、点Aのx座標はpです。 点Aは、2次関数y=ax^2上にあるから、点Aのy座標はap^2 (2) 正方形になるということは、点Aのx座標とy座標が同じということです。 (1)で、点Aの座標が(p,ap^2)であることは解っているので、 p=ap^2 です。 pをaを用いて表すということは、p=(aの式)という形で表すということです。 ap^2-p=0 p^2-(1/a)p=0 p{p-(1/a)}=0 p=0,1/a 点Aのx座標は正なので、p>0 よって、p=1/a (3) 点Aの座標は(p,ap^2)=(1/a,1/a) OR=2OPなので、点Bのx座標は-2p=-2/a 点Bは、2次関数y=ax^2上にあるから、点Bのy座標は4/a 点Bの座標は(-2/a,4/a) 2点を結ぶ直線の傾きは解りますよね？ (4) △BPQ＝△BPR－△QPO－□BQOR (5) OAの傾きが1、ABの傾きが-1 なので、∠OABの二等分線はx軸に平行。そして、点Aを通るから、y=1/a 点Cは(-1/a,1/a) □OABC＝△OAC＋△ABC＝2/a×1/a÷2＋2/a×3/a÷2＝4/(a^2) 面積が1なので、 4/(a^2)=1 a^2=4 a=±2 a>0なので、a=2
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- Mr_Holland
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ANo.2です。 誤記がありましたので訂正します。 ＞ =(1/2)(2/a・3/a+2/a・1/a) =4/a （正） =(1/2)(2/a・3/a+2/a・1/a) =4/a^2 ＞ 今、四角形OABCの面積は１ですので ＞ 4/a=1 （正） 4/a^2=1 ＞ ∴a=4 （正）∴a=2 （∵a>0)
お礼
訂正ありがとうございます。
- Mr_Holland
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(1) 点Pのx座標はpですので、点Aのx座標もpです。 点Aのy座標は y=ax^2 で求められますので ap^2 です。 ∴点A(p,ap^2) (2) 四角形OPAQが正方形ですので OP=OQ です。 OPは点Aのx座標と等しく、OQは点Aのy座標と等しいので、(1)から p=ap^2 ⇔p(ap-1)=0 ∴p=0,p=1/a （∵a>0) ところで、p=0 のとき、点Aは原点Oと一致してしまい、4点OPAQを結んだ図形は四角形にならない。 ∴p=1/a (3) (2)から改めて点A,Bの座標を求めると次のようになります。 点A(1/a,1/a), 点B(-2/a,4/a) 直線ABの傾きは2点ABの間の変化の割合に等しいので、 （直線ABの傾き）=(4/a-1/a)/(-2/a-1/a) =-1 直線ABは点Aを通るので、次のように表せます。 y=-(x-1/a)+1/a =-x+2/a (4) △BPQの面積は △BPRの面積から △QPOと台形QORBの面積を引いたものですから、 △BPQ=△BPR-△QPO-台形QORB =(1/2)PR・BR-(1/2)OP・OQ-(1/2)(OQ+BR)OR =(1/2){3/a・4/a-1/a・1/a-(1/a+4/a)2/a} =1/(2a) (5) 直線ABの方程式は (3)から y=-x+2/a 直線OAの方程式は y=x この2つの直線の傾きの積は -1×1=-1 なので、この2直線は直交しています。 ∴∠OAB=90° 従って、∠OABの2等分線は 直線AQ となり、点Cのy座標は点Aと同じ1/aです。 このことから 点Cのx座標は -1/a であることが分かります。（2次関数y=ax^2はy軸について対称ですので。） ∴点C(-1/a,1/a) 四角形OABCは △OACと△BACに分けられますので、 四角形OABC=△OAC+△BAC =(1/2)AC・QS+(1/2)AC・OQ =(1/2)(2/a・3/a+2/a・1/a) =4/a 今、四角形OABCの面積は１ですので 4/a=1 ∴a=4 となります。
お礼
細かいところまで教えいただきありがとうございました。
お礼
（１）は出来ています。（２）が不安でした。以下親切にありがとうございました。今自分なりに解きなおして、照らし合わせています。