(X/logX)+X が最小になるときのXの値

質問

X（ （1/logeX）+ 1 ）
が最小になるときのXの値と、その計算の過程を教えてください。

回答No.3

springside · ベストアンサー

#2です。
ちょっと間違えてました。

lim(X→1+0)f(X)=0ではなく、lim(X→1+0)f(X)=+∞です。

グラフの形は、X>1では、y=x+(1/x)と同じような感じの形（下に凸の、ちょっと開いた放物線的な形）になります。
下向きの頂点（極小値であり、最小値でもある）のX座標は、もちろんX=e^{(-1+√5)/2}です。

お礼

分かりました。
ありがとうございました。

回答No.2

springside

f(X)=X/logX+Xとおくと、
f'(X)={(logX)^2+logX-1}/{(logX)^2}となる。

f'(X)=0を解くと、logX=(-1+√5)/2となる。（∵X>1よりlogX>0）［ここでは、logXの２次方程式と見ています。］

f'(X)は、logX=(-1+√5)/2となるX、つまり、X=e^{(-1+√5)/2}の前後で符号をマイナスからプラスに変え、また、
lim(X→1+0)=0、lim(X→+∞)=+∞
なので（注：この辺はちゃんと増減表を書くべきですが、割愛します）、f(X)は、X=e^{(-1+√5)/2}のときに最小になる。

補足

傾きを表す微分の式は

（logX）^2 + logX - 1

で、傾きが0になるのは

X=e^{(-1+√5)/2}

のところまで分かりました。
実際のグラフがどのようになっていのかをまだ考えています。

回答No.1

eatern27

ｘで微分すれば、いいのでは？

と、思ったのですが、

x→1-0の時、-∞になりませんか?

勘違いだったらごめんなさい。

補足

Xの範囲を書き忘れていました。
X＞1という範囲です。