x.>0ときγ(x)が最小値となるxの値は何か？

質問

ｘは実数でx.>0とすると、ガンマ関数Γ(x)はx=1.461633近辺で最小値をとるようですが、その具体的な値と算出方法がわかりません。

　最初は単純にΓ'(x)=0を考え、Γ(x) = ∫t^(x-1) e^(-t) dt （∫は t = 0 から ∞）を微分すると
∫t^(x-1) e^(-t) (log t) dt となりましたが、ここから先に進めませんでした。

　次にディガンマ関数ψ(x)=Γ'(x)/Γ(x)、Γ'(x)=Γ(x)*ψ(x)であり、x>0の場合Γ(x)>0なので、Γ'(x)=0の場合はψ(x)=0になるだろうと思い、ψ(x)=-γ-1/x＋Σ[n=1,∞](1/n-1/(n+x))=0を考えてみようとしましたが、これもここから先がよくわかりません。

　ひょっとしてこれは複素解析の知識が必要なのでしょうか？。どなたか具体的な値と算出方法をご教示願います。

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

地道に x を小刻みに動かして、Γ(x) の最小値を求めるのが、却って簡単かもしれません。ベルヌーイ数を使って、かなり速く log(Γ(x)) を計算する方法があります（高木貞治「解析概論」）。

　x を小数点以下 50 桁ほどまで計算すると、次のようになりました。

　　x = 1.461632144968362341262659542325721328468196204006446…

Γ(x) の最小値は、次のようになりました。

　　最小値　=　0.8856031944108887002788159005825887332079515336699034488712001658751362274173963466647982802142035947675…

お礼

回答ありがとうございます。おっしゃるとおり地道な求め方しかないかもしれません。英語版wikiのDigamma functionの項にも

The only one on the positive real axis is the unique minimum of the real-valued gamma function on R+ at x0=1.461632144968...

とだけ書いてありました。最近このことが気になっていたので、すっきりしました。