楕円について質問です。

質問

楕円について質問です。
　x^2－xy＋2y^2＝8の表す図形は添付画像のようになりますか。またこのように，軸が斜めになっている楕円は「代数・幾何」では取り扱われていましたか。
　私は一つ前の課程で履修したため，軸が斜めになっている楕円は学びませんでした。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

私は、二つ前の課程を履修しました。
質問の問題は、「二次曲線」の単元として、浪人の年に導入され、
高校在学中には聞いたこともなかったが、駿台予備校で教わった
覚えがあります。当時は、数列や微分方程式の問題の解法として、
行列を対角化する手順が普通に教えられていましたから、その延長で、
二次形式を対角化して二次曲線を分類することが、予想問題として、
予備校のテキストや受験雑誌の特集記事に載せられました。今思えば、
高校生相手に何を？と笑う話ですが、当人達は必至でしたから。

(x　y)^t = v,

(1　　-1/2)
(-1/2　2　) = A

と置いて、問題の図形は (v^t)Av = 8 と書けます。

行列 A は、対角化可能で、固有ベクトルどうしが直交しますが、
その 2 つの固有ベクトルの方向が、楕円の長軸・短軸方向になります。
A の対角化を (P^-1)AP として、P を座標軸の変換と解釈すれば、
それが解ります。

お礼

行列の対角化などちんぷんかんぷんで分かりません。整式の微分・積分とそれらの応用くらいなら理解できますが。何はともかくご回答ありがとうございます。

補足

回答するカテゴリが数学に特化しているあなたの回答をベストアンサーとさせていただきます。

回答No.1

htms42

高校で出てきた時の扱いを思い出してみました。かなり昔のことです。

ｙについて解きます。
ｙ＝（ｘ／２）±√(８－(3/4)ｘ^2)
これは
ｙ１＝ｘ／２　　
ｙ２＝±√(８－(３／４)ｘ^2)
の合成です。
ｙ１は原点を通る直線の式
ｙ２は原点を中心とする楕円の式です。
ｘの範囲は　ｘ^2≦３２／３　です。

これをグラフに書いてイメージを取りました。
これでできる範囲の問題しか出てこなかったように思います。
楕円を回転させた図形になっているという押さえはありませんでした。

ｘが最大になる時の点はｙ１の上にあります。
でもｙ１＝ｘ／２は楕円の軸ではありません。長軸の勾配は１／２よりも少し大きいです。

お礼

ご回答ありがとうございます。