回転した楕円の長径短径、媒介変数表示

質問

院試の過去問をやっていましたが解答がないため質問させていただきます。

楕円2x^2-2xy+y^2=1について以下の問いに答えよ．
(1)この楕円の長径，短径を求めよ．
(2)X，Yを長径，短径に沿う座標軸とするとき，この楕円っを媒介変数表示せよ．

自分の考えた方針は(x y)=P(X Y)と適当な回転行列Pを用いて表現された(x y)を与式に代入し，そのとき出てくるXYの項の係数がゼロとすることでθだけ回転してることと同時に長径，短径もわかるだろうと思っていたのですが，どうもうまくいきませんでした。

どなたかよろしくお願いします．

回答No.4

arrysthmia · ベストアンサー

２行２列の対称行列
　　２　　－１
　　－１　　１
の固有値と固有ベクトルを求めて、
左辺の二次形式を対角化すればよいでしょう？

実対称行列の固有値は、必ず実数ですが、
それが二つとも正ならば、曲線は楕円になります。
(正と負なら、双曲線。一方が０ならば、放物線。)
固有値の平方根が、長軸半径と短軸半径の逆数になります。

一次項が無ければ、楕円の中心は原点ですから、
媒介変数表示は、
　　x = (長軸半径) cos θ
　　y = (短軸半径) sin θ
とするだけです。
X,Y 座標が長軸短軸に沿ってとってありますから、
回転を考慮する必要もありません。

補足

ありがとうございます．
ですが自分には難しくよくわかりません．

分からないところは
この対称行列はどこから来るものなのか．
二次形式の対角化とは．
「二次形式の対角化⇔座標の回転」なのか．
なぜ固有値の平方根が長軸半径、短軸半径の逆数なのか．

つまり述べられている操作の数学的意味がほとんど分かりません．

ここでは楕円と問題で与えられており既知ですが２次曲線の判別式と長径，短径を一気に求められる，こんな簡便な方法があるとは知りませんでした．
是非覚えたいので，よろしければもう少し拡張して２次曲線一般についてどのようなことが言えるのか教えていただきたいです．

回答No.7

info22

#3,#6です。
A#6の補足質問の回答

ここから以降は(A)の式まで戻ってやり直して下さい。
個別に細かなことをやって取り上げても（A)の式を正しく導き、その延長線上の質問で無いと意味のないやり取りになるだけです。
↓これ以降は、(A)式の導出にもどって、正しい式から解答を作り、その上での質問をするようにして下さい。↓余り成果のない質問です。
> αはtanα=2を満たすような角
> このような書き方はダメなのでしょうか？
> 逆関数を用いる表記でないと

>>・・・。
> なんですか？
> 意味がわかりません。

おおもとの式が間違っているので、間違った式をもとに、この先を取り上げても何の意味もない（試験ならこの先は得点にならない）
…という意味の点々です。
正しい（A)の式まで戻って、計算をやり直さないと無駄という意味です。

正しい計算がおできにならないようなので、正しい解答のプロセスを書きました。その解答のプロセスにそって分からない事があれば質問して下さい。

補足

ありがとうございます。

あの書き方ではだれも・・・。の意味はわからないと思います。
もう少し書き方があると思います。
今度誰かに解答なさるときは気に掛けてもらえるといいです。

なんかどうしても文句っぽくなってしまい申し訳ないです。
ただ文句のような気持ちは全然ありません！

自分の方針を見てもらい本当に感謝しています。

回答No.6

info22

#3です。
A#3の補足について
> 与式をX，Yを使って表すと
与式とはどの式を指しますか？
2x^2-2xy+y^2=1のはずですが、そうなら次の式にはなりませんよ。
> X^2+Y^2-2sθcθ(X^2-Y^2)-2(c^2θ+cθsθ-s^2θ)XY=1
この式自体が間違っています。
導出過程が書いてないので何ともいえませんが、正しい計算をすれば

(si^2-2*co*si+2*co^2)X^2+(2*si^2+2*co*si+co^2)Y^2
+2(si^2-co*si-co^2)XY＝1　…（A)
と言う式が出て来るはず。
XYの係数＝0とおけば
tan(2θ)＝-2（θ＝(π/2)-arctan(2)/2≒58.3°）
cos(2θ)＝-2/√5,sin(2θ)=2/√5
この時
X~2の係数：si^2-2*co*si+2*co^2＝3/2+(1/2)cos(2θ)-sin(2θ)
＝(3-√5)/2
Y~2の係数：2*si^2+2*co*si+co^2＝(3/2)+sin(2θ)-(1/2)cos(2θ)
＝(3-√5)/2
(A)は次式のようになる。
{(3-√5)/2}X^2+{(3+√5)/2}Y^2=1
これを楕円の標準形
(X/a)^2+(Y/b)^2=1
に直すとA#3に書いた長径aと短径bの値がでてきます。

自力で、ちゃんと解けるようフォローしてみてください。
自分で立てた方針でちゃんと解けないと
他のどんな方法でやろうとしても中途半端な未消化で終わる恐れがあります。ちゃんと解けて、それで他の解を考える余裕がでたら、取り組むといいでしょう。

最初の与式がおかしいので、以降もがいても無駄な計算になります。
> ここでXYの係数をゼロとおき，整理すると
この考え方だけは○ですが…。

> s(2θ+α)=0
> ただしαはtanα=2を満たすような角．
…。

参考URLにフリーソフトのGRAPESというグラフソフトがあります。
陰関数のグラフや媒介変数形式のグラフが描けますので、元の楕円の式、回転後の楕円の式、媒介変数の楕円の式を入力してプロットすると
楕円の回転移動の検証ができますので、使ってみて下さい。

参考URL：

http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/

補足

ありがとうございます。
方針は合っていたようでよかったです。

>αはtanα=2を満たすような角
このような書き方はダメなのでしょうか？
逆関数を用いる表記でないと

>・・・。
なんですか？
意味がわかりません。

文句っぽい文面になってしまってますが純粋な疑問です．

またA#3に書いた長径aと短径bは正確には長軸半径と短軸半径だと思います。

回答No.5

arrysthmia

＃４です。

a x^2 + b xy + c y^2 という形の式を、(２元)二次形式と言います。
対称行列 A =
　　a　　　b/2
　　b/2　　c
と、列ベクトル v =
　　x
　　y
を使って、v^t A v と書けます。( v^t は v の転置を表すものとします。)

A が対称行列になっているのは、
そうなるように、xy 項の係数を b/2 づつ配置したからです。
a x^2 + b xy + c y^2 を v^t B v と表す行列 B は他にもありますが、
対称な A を選んでおくと、後で便利です。

行列 A を、対角行列 D と 正則行列 P を用いて A = P D P^-1 と表すことを、
A を対角化すると言います。( P^-1 は P の逆行列を表すものとします。)
A が対角化できるとき、D の対角成分は A の固有値、
P の第 n 列は D の第 n 対角要素に対応する A の固有ベクトルになります。

対角化は、どんな行列 A に対しても可能な訳ではありませんが、
A が実対称であれば、D, P の成分が実数で、P が直交行列であるような
対角化が可能であることが知られています。
( P が直交行列であるとは、P^t = P^-1 が成り立つことを言います。)

この D, P を用いて、最初の二次形式は v^t (P D P^t) v と表されますから、
w = P^t v と置けば、v^t A v = w^t D w と変形されます。
w^t D w は、(係数)(一次式)^2 + (係数)(一次式)^2 という形をしていますね？
この (係数) は D の対角成分ですから、結局、A の固有値がわかれば、
v^t A v = (定数) という式が表す二次曲線の標準形がわかることになります。

何ぶん分量が多いので、取りあえず、概略とキーワードだけ挙げました。
詳細は、線形代数の教科書を読めば書いてあります。

お礼

ありがとうございます！

解説も簡潔平易であり、大変助かり、参考、勉強になりました。

回答No.3

info22

> 自分の考えた方針は(x y)=P(X Y)と適当な回転行列Pを用いて表現された(x y)を与式に代入し，そのとき出てくるXYの項の係数がゼロとすることでθだけ回転してることと同時に長径，短径もわかるだろうと思っていたのですが，どうもうまくいきませんでした。

自分でやった解答を補足に書いてください。そうすれば回答者が間違い箇所を訂正してくれるかと…。

ヒント）
(1)長径：a=(√5+1)/2,短径：b=(√5-1)/2
(2)X=a cosθ, Y=b sinθ　（a,bは(1）の値)

補足

ありがとうございます。
そうですよね、すみません＞＜
遅くなってしまいましたが書きます。

以下簡単のためcos，sinをそれぞれc，sと書きます。
Pを　cθ -sθ
　　　 sθ cθ

とし，与式をX，Yを使って表すと
X^2+Y^2-2sθcθ(X^2-Y^2)-2(c^2θ+cθsθ-s^2θ)XY=1

ここでXYの係数をゼロとおき，整理すると
s(2θ+α)=0
ただしαはtanα=2を満たすような角．

これにより2sθcθが分かり，上の式に代入すると
(1-1/√5)X^2+(1-1/√5)Y^2=1

となり円になっちゃいました＞＜
もっとがんばってみたらよかったのかもしれませんが，気力が尽き，質問させていただきました．

よろしければどこが間違っているか教えてください．
他の方のように別のアプローチでもいいです．

回答No.2

take_5

結構計算が面倒だが、ミスがなければ　θ＝π/8になると思う。

cos（π/8）、sin（π/8）を求めることになるが、いずれにしても計算が煩いね。。。。。。笑

補足

ありがとうございます．
わずわしいですよね＞＜

でも長径，短径を求めることだけ考えればcos（π/8）、sin（π/8）を求める必要は無いと思います．

回答No.1

noname#71905

【参考です】基本的には方針は同じはずです

ax^2＋2hxy＋by^2＋c＝0　を
…原点のまわりにθだけ回転して標準形にしたときの2次曲線の式を
Ax^2＋By^2＋c＝0　とすると{tan2θ＝2h/(b－a)}
…A,Bはtについての2次方程式
t^2－(a＋b)t＋(ab－h^2)＝0　の2つの解　より

2x^2－2xy＋y^2＝1
…a＝2，b＝1，h＝－1　で、t＝(3±√5)/2
{(3－√5)/2}x^2＋{(3＋√5)/2}y^2＝1
…(3±√5)/2＝{(√5±1)/2}^2
x^2/{(√5＋1)/2}^2＋y^2{(√5－1)/2}＝1
・・・
・・・

補足

ありがとうございます！
なんか凄い方法ですね！！

ax^2＋2hxy＋by^2＋c＝0　を
…原点のまわりにθだけ回転して標準形にしたときの2次曲線の式を
Ax^2＋By^2＋c＝0　とすると{tan2θ＝2h/(b－a)}
…A,Bはtについての2次方程式
t^2－(a＋b)t＋(ab－h^2)＝0　の2つの解　より

この部分はこうなるんですか？
自分で証明しようと計算しましたが、力不足でたどり着けませんでした。