これはなぜ楕円なんですか？

質問

x^2+xy+y^2-1=0
これはなぜ楕円になるんですか？

(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1の形にならないんですけど、なぜ楕円なんですか？

回答No.5

pyon1956 · ベストアンサー

＞なぜこの形（x^2+xy+y^2-1=0）を見て45°回転していると分かるんでしょ＞うか？

元の式がx,yの対称式、つまりxとyを入れ替えたときもとの式と同じ式になること。
これはx軸とy軸を入れ替えても同じグラフになる、ということ。つまり直線y=xについて対称であることを示しています。なので１次変換を用いて４５°回転させてみればいいとわかります。

なお１次変換についてはたとえば

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/linear_image3.html

あたりを参照のこと。

お礼

すっきりしました！回答ありがとうございました。とても分かりやすかったです。

回答No.4

Landolt

今までに指摘があった通りに座標変換すると、
元の図形を（反時計回りに）45°(π/2)回転させたものになります。
変換後の式を見ると楕円であることがわかるでしょう。

ちなみにこの楕円は、元の座標でいうと、
(-1,1)と(1,-1)を結ぶ線分を長軸、
(1/√3,1/√3)と(-1/√3,-1/√3)を結ぶ線分を短軸とする、
横長の楕円を（時計回りに）45°(π/2)回転させたものです。

お礼

すいません。皆さんのを読んで、ずっと考えているんですけど、まだ理解できません(T_T)
なぜこの形（x^2+xy+y^2-1=0）を見て45°回転していると分かるんでしょうか？

回答No.3

sggk

45度回転してみればよいのではないでしょうか。

45度回転した後の座標を(X,Y)とおけば、元の座標(x,y)は以下のように表されます。
x＝Xcosα－Ysinα
y＝Xsinα＋Ycosα ※α＝45度
これらを元の式に代入すると
x^2＋xy＋y^2－1
＝X^2＋Y^2－2XYsinαcosα＋X^2sinαcosα－Y^2sinαcosα＋XY(cos^2α－sin^2α)＋X^2＋Y^2＋2XYsinαcosα－1
＝(5/2)X^2＋(3/2)Y^2－1＝0
となり、楕円の式になります。

お礼

>45度回転した後の座標を(X,Y)とおけば、元の座標(x,y)は以下のように表されます。
x＝Xcosα－Ysinα
y＝Xsinα＋Ycosα ※α＝45度

なぜこのようになるのか、まだ理解できないでいます。
この(X,Y)と(x,y)は、同じx軸y軸を基準にした座標ですよね？？

回答No.2

noname#11920

済みません、肝心なことを書き忘れました。
sqrt(2)はルート2です。

お礼

回答ありがとうございます。今頑張って理解しようとしてるんですが、よく分かりません(T_T)

回答No.1

noname#11920

x = (1/sqrt(2)) (X - Y)
y = (1/sqrt(2)) (X + Y)
と置いてみてください。
そうすれば(X, Y)について、楕円の式になります。

この変換は座標を回転しています。