２次関数です。 式で表す…

質問

ｘの二次関数y=x^2+2mx-mの最小値zをmの式で表せ。
このzはmのどんな値に対して最大となるのか。その最大値を求めよ。

考え方～解答、解答をみて、やり方を学ばせてもらいますね。

回答No.2

horibeyasubei · ベストアンサー

ｙ＝（ｘ＋ｍ）＾２－ｍ＾２－ｍ

ｘ＝ーｍのとき最小値－ｍ＾２－ｍ

グラフに書くと下に凸のグラフでしょ。

よってｚ＝－ｍ＾２－ｍ

ｚは、二次の係数がマイナスだからｚの最大値は、

ｚ＝－（ｍ＋１）＾２＋ｍ＋１

と代表される式で表される。

でｍ＝－１の時最大で、０

でしょ。ｍの関数は二次の係数はマイナスだ

から、上に凸のグラフになる。

回答No.5

fushigichan

こんにちは。まず、式を整理してみましょう。

y=x^2+2mx-m
=(x+m)^2-m-m^2
となります。これはx=-mのときyが最小値-m-m^2
となりことを示しています。

さて、この最小値z=-m-m^2はｍの関数になっていますから、
z=-m-m^2
=-(m-1/2)^2+1/4
これはzがｍの二次関数であって、m=1/2のときｚは最小値1/4
であることをあらわす。
上に凸の放物線を思い浮かべてください。

回答No.3

ticky

まず z をもとめます。
y = x^2 + 2mx - m = (x^2 + 2mx + m^2) - m^2 - m = (x + m)^2 - (m^2 + m)
この式の中で、x の値によって大きさが変化するのは、(x + m)^2 の部分だけで、x の値が変わっても、-(m^2 + m) の大きさは変化しません。ですから、(x + m)^2 が最小値をとるとき x = -m のとき)に、y も最小をとります。よって、y の最小値 z = - (m^2 + m)
次に、z が最大値をとるときについて考えます。
z = - (m^2 + m) = - {m^2 + m + 1/4 - 1/4 } = - { (m + 1/2 )^2 -1/4 } = - (m + 1/2)^2 +1/4
この式の中で、m の値によって大きさが変化するのは、- (m + 1/2)^2 の部分だけで、1/4 の部分は当然変化しません。ですから、- (m + 1/2)^2 の部分が最大値をとるとき（つまり、m = - 1/2 のとき）、z も最大値をとり、その値は 1/4 となります。
このような問題を解くコツは、１．変化する文字はどれか（変数はどれか）ということと、２．変数を一カ所に集めてしまうことです。

回答No.4

ticky

まず z をもとめます。
y = x^2 + 2mx - m = (x^2 + 2mx + m^2) - m^2 - m = (x + m)^2 - (m^2 + m)
この式の中で、x の値によって大きさが変化するのは、(x + m)^2 の部分だけで、x の値が変わっても、-(m^2 + m) の大きさは変化しません。ですから、(x + m)^2 が最小値をとるとき x = -m のとき)に、y も最小をとります。よって、y の最小値 z = - (m^2 + m)
次に、z が最大値をとるときについて考えます。
z = - (m^2 + m) = - {m^2 + m + 1/4 - 1/4 } = - { (m + 1/2 )^2 -1/4 } = - (m + 1/2)^2 +1/4
この式の中で、m の値によって大きさが変化するのは、- (m + 1/2)^2 の部分だけで、1/4 の部分は当然変化しません。ですから、- (m + 1/2)^2 の部分が最大値をとるとき（つまり、m = - 1/2 のとき）、z も最大値をとり、その値は 1/4 となります。
このような問題を解くコツは、１．変化する文字はどれか（変数はどれか）ということと、２．変数を一カ所に集めてしまうことです。

回答No.1

mokonoko

y=x^2+2mx-m
=(x+m)^2-m^2-m
よってx=-mの時、最小値z=-m^2-mを得る

微分が使えるなら
y'=2x+2m
y'=0が極値なのでx=-mの時にyは最小値zを得る
yの式にx=-mを代入する
z=(-m)^2+2m(-m)-m
=-m^2-m