導関数について。訂正しました。

質問

先程の質問は間違いがありました。
y=(x~2-1)~nとし(x~2-1)y~(n+2)+2xy~(n+1)-n(n+1)y~(n)を示す。
y~(n)はyのn次導関数を示す。
という問題をテストの過去問を勉強していて解いているのですがどういうふうに解いていくかの糸口が見付かりません。数回微分をしてみても検討も見付かりませんでした。
漸化式になるのかなと思って変形しようとしたのですがどうもうまく行きませんでした。どうすればよいのか糸口を教えて頂けませんか？
宜しくお願いします。

回答No.2

eatern27

すいません、訂正です。

＞(x^2-1)y'=2nxy (y'はyの1階微分)
＞となるのは、簡単に確認できると思いますが、この両辺を普通にn階微分すると(！)、
＞(x^2-1)y^[n+2]+2xy^[n+1]-n(n+1)y^[n]=0

n階微分ではなく、n+1階微分でした。

お礼

ありがとうございました。なんとか解くことができました。

回答No.1

eatern27

aのb乗をa^b,yのn階微分をy^[n]とすると、
y=(x^2-1)^n
(x^2-1)y^[n+2]+2xy^[n+1]-n(n+1)y^[n]=0
を示せばいいんですよね？

(x^2-1)y'=2nxy (y'はyの1階微分)
となるのは、簡単に確認できると思いますが、この両辺を普通にn階微分すると(！)、
(x^2-1)y^[n+2]+2xy^[n+1]-n(n+1)y^[n]=0
が導かれます。

ちなみに、
y^[n]=(d/dx)^n(x^2-1)^n
は(正確には、これをn!2^nで割ったものは)ルジャンドルの多項式と呼ばれていて、おもしろい性質のある多項式です。(ご質問の微分方程式は、この多項式を階とする2階微分方程式です)
物理数学の教科書とかを探せば、この辺りの話も載っているはずです。