不等式2(x^2+y^2)≧(x－y)^2を証明せよ、また、等合が成り

質問

不等式2(x^2+y^2)≧(x－y)^2を証明せよ、また、等合が成り立つはどのようなときか。とゆう問題なんですが、どのように解けばよろしいでしょうか？

回答No.3

mister_moonlight

左辺-右辺≧0を示すのが、不等式の証明の基本ではある。
しかし、この問題の裏に隠されている“シュワルツの不等式”を使ってみよう。
シュワルツの不等式自体は、下のＵＲＬを見て欲しい。

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/suu-to-siki/syoumei/henkan-tex.cgi?target=/math/category/suu-to-siki/syoumei/syuwarutunofutousiki.html

－y＝aとすると、シュワルツの不等式から、(1＾2＋1＾2)*(x＾2＋a＾2)≧(x＋a)＾2
つまり、2(x^2+y^2)≧(x－y)^2　が成立する。
等号は、x＝a＝-y　の時。

このシュワルツの不等式は、入試でも良く使われるので将来的に必ず役に立つから、今から覚えておいた方がいいかも知れない。

回答No.2

NNori

こういう問題は　大きい方から小さいほうを引いてその結果が必ず０以上になる、ということが言えればいい。０以上になるためには、大概なんかの2乗をいくつか足したものにできればいい

この問題で、(左辺）－（右辺）は
2×x^2 + 2*y^2 - x^2 + 2xy - y^2
= x^2 + 2xy + y^2
= ( x + y ) ^2
これって　≧ ０　でしょう。
で、＝０になるときは、　(x+y) = 0 すなわち x=-y のときでしょう。

回答No.1

gohtraw

右辺を展開するとｘ＾２－２ｘｙ＋ｙ＾２、これを左辺に移項すると
ｘ＾２＋２ｘｙ＋ｙ＾２＝（ｘ＋ｙ）＾２＞＝０
あとはご自分で。