この賭けは公平？不公平？数学の問題集に以下の問題がありました。

質問

この賭けは公平？不公平？数学の問題集に以下の問題がありました。

Q.二人で次のような賭けをした。この賭けは公平であるか？

「私が、ジャンケンに勝てば君が持っているお金の半分をもらう。もし、私が負ければ君の持っているお金の半分に相当するお金を上げます。要するに、君の持っているお金をもとにして、その半分をやり取りする。」

A.不公平

とありました。なぜ、この賭けが不公平なのかを教えていただけませんか。
よろしくお願いします。

回答No.18

alice_44

No.1 です。
回答が多くなってきたので、勝手にまとめ：　(削除喰らうかな？)

[1] 期待利得が 0 だから、公平。 No.1, 7, 8+12, 9, 11, 17.
[2] 勝ちと負けが同数なら「君」の不利だから、不公平。 No.2, 4, (5+6?), 13, 16.
[3] そもそも終了条件が定義されていない。 No.10, 15.

[2] がオカシイ理由は、No.9 と No.12 に詳しく出ています。
[3] は、ウッチャリという感もありますが、ある意味一番鋭いのかもしれません。
あるいは、もともと「公平」を定義せずに議論しているから無意味
…とか言い出したら、議論が成立しないかも。

お礼

二度のご回答ありがとうございます。
公平・不公平の定義、終了条件、手持ちの金額について、問題文には何も書かれていません。
たくさんの回答をいただき、考え方もいろいろなのだと思いました。とても参考になりました。

回答No.17

hiro1122

NO１３です。　大きな誤解をしていました。不適切な発言も非常に申し訳ありませんでした。
１０００円からスタートして勝負の回数を設定して期待値を求めても残る金額の期待値は１０００円となるので、確率論的には公平となります。

仮にこれが不公平で君と言われている人が確実に負けるなら、確率1/2のギャンブルをしたときに、胴元の手持ちを仮に１００００円と設定して、掛け金を決めて勝負すれば必ず勝てるという必勝法が生まれることになります。でもそんなことはないので、この賭けは不公平とはならないはずです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
勝ち数・負け数が同じの時に損するために不公平だと感じてしまうものなのでしょうか。
確率論はよく分かりませんが、期待値=もともとの手持ち　ということが公平と言うのに重要であるとわかりました。

回答No.16

happycup

#15です。追記

#11さんの回答が正しいですね。
勝率が５０％であっても手持ちの資産に対して定率で掛金を決めた場合は複数回の勝負では資産を減らす確率の方が高いです。（１回勝負なら対等）

資産の増減に関していえば勝負の回数が増える程、資産が減る確率が高くなるので不公平ですね。

お礼

ご回答ありがとうございます。
問題文には資金、勝負回数などは何も書かれていません。
この問題に限らず、とても参考になる回答を頂けたと思っています。

回答No.15

happycup

勝負１回毎は公平ですが、君と称される側の資金は有限であり、私と称される側の資金は無限と受け取れます。勝負の終了までの回数が指定されていれば公平といえますが、破産するまでとすると不公平です。

問題を別の例えに置き換えると以下と同様です。

カジノで勝負する際に、掛金の倍額が払い戻される勝率５０％のギャンブルで常に資金の５０％を賭ける事と同じです。（私と称する側はカジノにあたります）

どちらかが破産するまでの勝負とすると、資産の多いほうが断然有利です。なので不公平といえる。

回答No.14

Tacosan

1パターンだけ「シュミレーション」してもダメだろ... 具体的な数値を使うなら, きちんと全パターンで「シミュレーション」してくれ....

閑話休題
確率論を正しく理解している人なら, 当然
独立な確率変数の積の期待値は, 個々の確率変数の期待値の積に等しい
といえる. 気のきいた人なら, 「和のときは独立でなくてもいいけど, 積では独立であることが必要」とまで言ってくれるはずだ.

回答No.13

hiro1122

NO２の方がすでに正解を出していますが、反対の意見が多くて分からないようなので、後押しします。
この問題では、賭けを続けることが前提として出題されています。この賭けが一回で終わる場合は公平ですが、繰り返すとなると掛け金が変化します。この賭け金の変化が普通の確率の期待値で考えられない要因となっているのです。
期待値で正しく考えるなら、勝つ確率と負ける確率は等しいので、１勝１負のときの結果で考えると
勝てば1.5倍、負ければ0.5倍なので、
1.5×0.5＝0.75より、この勝負を二回したときに残る金額の期待値は0.75倍　よって不公平ということになります。
具体的に勝ち数と負け数が同じ場合でシュミレーションした結果を信じられない人は確率の本質をまったく理解していないといっていいです。

回答No.12

seahorse57

#8です。
期待値から考えると「公平」な賭けになるわけですが、
私の回答では掛金が奇数になった場合のことは考えていません。

ただこの問題の趣旨はそこではないような……奇数のときどうするかはかいてないし。
例えば
「n回この賭けをする。はじめの所持金は2^nで割りきれる金額とする」
と問題文に追加しておけばそのような面倒なことにはなりませね。

次に補足として直感的には「君」が損しそうなのに公平なわけを考えてみます。
賭けを10回する場合で考えてみます。
5回勝って5回負けると、所持金は(1.5)^5*(0.5)^5=0.23…
となり、大損の様に思えます。
でもここから一回勝つ回数が増えるごとに所持金は3倍になります。
6勝→0.71…
まだ損してますが、7勝すると所持金は最初の2倍、10勝するとなんと57倍です。
一方損するときはどんなに負けつづけても初めの所持金の分しか損しません。
これが相殺して平均すると1倍になるのです。

賭けの特徴をまとめると、
「私」の立場では「高い確率で少し得する。でも低い確率で大損する。」
「君」の立場では「損する場合が多いが、低い確率で大儲けできる。」
ので、「君」の方がギャンブル要素が強くなります。

お礼

詳しいご回答をありがとうございます。
不公平に感じるのは、こういうことだったのですね。
問題を作った側がどんな回答を期待しているのかはわかりませんが、なるほど～と思える回答を頂けたと思っています。

回答No.11

SortaNerd

私は公平だと思います。理由は既出なので省略します。

ただ、以前ブルーバックスか岩波新書か何かその辺の数学パズルの本の解答で、これと同様の賭けが不公平だとする間違った理論を見つけたので紹介します。もしかしたらこの問題の出題者も同じ間違いを犯しているのかもしれません。

賭けを無限回繰り返す
→勝ち回数の期待値は1/2になる
→勝ち回数1/2の時、あなたの金は平均して2回ごとに0.5×1.5=0.75倍になる
→よってあなたの金は平均して減る

この間違いの原因は、勝ち数の期待値と金の損益の期待値を取り違えていることにあります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
この問題が載っている問題集は答えだけで、解説が一切無い上に、答えが間違っていることもしばしば…というものです。ご指摘のように、この問題もそうなのかもしれないです。

回答No.10

Quattro99

相手がいくらでも賭け金を用意できるとするなら、不公平ということになります。
もし、持ち金が1円になったとき、次にいくら賭けるかですが、半分の0.5円を切り上げて1円なら、次に負けると文無しになって終了ですし、切り捨てて0円なら持ち金1円で終了です。
一方、相手がいくらでも掛け金を用意できるという条件ならいくら勝っても終了しません。
そうすると、最初の持ち金が有限なら、0円あるいは1円になって終了する確率が1になります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
掛け金、持ち金、手持ちが奇数の場合など、問題文には記述がありません。
考え方の一つとして参考になりました。

回答No.9

momordica

多くの方がご指摘の通り、確かに「君」が負ける確率の方が高くなりますが、
これは要するに、「勝てる確率は低いが、その分勝ったときの儲けは大きい」という
賭けになっているだけです。
例えば1万円から始めて2回勝負（引き分けあり）をすると、負けても2500～7500円を
失うだけですが、勝った場合は5000～12500円獲得できることになります。
何をもって公平とするかは、意見の分かれるところかもしれませんが、＃１、＃７、＃８
の方々がおっしゃる通り、利益の期待値は何度繰り返しても０なので、公平な賭け
だと見るべきだと思います。

一般にこのような賭けを繰り返すとき、
勝つたびに掛け金を上げていくと、負けるとその前の勝ち分以上を失ってしまうので、
トータルとして勝つ確率は低くなりますが、その分、勝てば大儲けすることができます。
逆に負けてもそれほど大きな損失にはなりません。

これとは逆に、負けるたびに掛け金を上げていくと、勝てばその前の負け分以上を
取り戻せるので、負ける確率は低くなりますが、その分、負ければ大損することになります。
逆に勝ってもそれほど大きな儲けにはなりません。

ただ、どちらの場合も期待値は同じです。
このような賭け方のどちらかが得でどちらかが損だ、と思う方は、ギャンブルで身を滅ぼす
素質があると思うので、気をつけた方がいいように思います。

お礼

丁寧なご回答をありがとうございます。
ご指摘の通り、公平の定義がはっきり分からないので、いろいろな回答があるのですね。
忠告も受け取っておきます。