この賭けは公平？不公平？数学の問題集に以下の問題がありました。

質問

この賭けは公平？不公平？数学の問題集に以下の問題がありました。

Q.二人で次のような賭けをした。この賭けは公平であるか？

「私が、ジャンケンに勝てば君が持っているお金の半分をもらう。もし、私が負ければ君の持っているお金の半分に相当するお金を上げます。要するに、君の持っているお金をもとにして、その半分をやり取りする。」

A.不公平

とありました。なぜ、この賭けが不公平なのかを教えていただけませんか。
よろしくお願いします。

回答No.8

seahorse57

「君」の立場から考えます。
はじめの所持金を1として、賭をしたあとの所持金が何倍になるかを見てみましょう。

・賭けを一回しか行わない場合
勝→1.5
負→0.5
よって期待値は(1/2)*(1.5+0.5)=1
このとき得でも損でもない。

・賭を二回行う場合
勝勝→1.5*1.5=2.25
勝負→1.5*0.5=0.75
負勝→0.5*1.5=0.75
負負→0.5*0.5=0.25
よって期待値は(1/4)*(2.25+0.75+0.75+0.25)=1

・賭をn回行う場合
k回だけ勝つ確率はnCk*(1/2)^n
このときの所持金は(3/2)^k*(1/2)^(n-k)
よってこれらを掛け合わせて足すと二項定理より期待値は(1/2)^n*(3/2+1/2)^n=1。

なので期待値から考えると得も損もしません。
でも2回行った場合を見てもらえれば分かるように、
何回か賭を行って自分の所持金が増えている確率が1/2より大きくなることは決してないので不公平といえば不公平になるのかなあ……（自身が無い）

回答No.7

Tacosan

いくつか決めておかなければならないことがある. とりあえず以下では次のように設定します:
・「ジャンケンに勝つ」確率と「負ける」確率は同じ
・毎回出す手は完全にランダムである (したがって毎回の勝敗はすべて独立である)
・「利益の期待値が 0 である」ときに「公平」である
このとき....
このかけを 1回だけやるなら「公平」. 根拠は #1 の通り.
問題はこのかけを繰り返し行うときだけど, この場合にもやっぱり「公平」になります. というか, 「1回のときに『公平』」で「毎回の結果が独立」なら, 繰り返し行っても「公平」なのはほぼ自明.

お礼

ご回答ありがとうございます。
問題を読んで、独立ということを全く気付きませんでした。
なるほど、と思える回答だと思います。

回答No.6

kanghao

先ほど回答したものです

間違いがあったので訂正します。

相手が１回目勝ち、２回目負けた場合
　１回目（＋５００万）２回目（ー２５０万）合計２５０万

　が正しいです。

回答No.5

kanghao

自分が１０００万円もっていると仮定し、２回じゃんけんをします。

自分が２回とも勝った場合
　１回目（＋５００万）２回目（＋７５０万）合計１２５０万
相手が２回とも勝った場合
　１回目（＋５００万）２回目（＋２５０万）合計７５０万

　よって相手にとって不公平

自分が１回目勝ち、２回目負けた場合
　１回目（＋５００万）２回目（－７５０万）合計－２５０万
相手が１回目勝ち、２回目負けた場合
　１回目（＋５００万）２回目（ー２５０万）合計５００万

　よって自分にとって不公平

自分が１回目負け、２回目勝ちの場合
　１回目（－５００万）２回目（＋２５０万）合計－２５０万
相手が１回目負け、２回目勝ちの場合
　１回目（－５００万）２回目（＋７５０万）合計＋２５０万

　よって自分にとって不公平

相手が負けて自分の金額が多くなるほど、

相手が１回勝った時の取り分が大きくなるという仕組みになっている。

逆に自分が１回でも負けてしまうとその後勝ったとしても

相手ほどの取り分を期待できない

回答No.4

ultraCS

ドローは移動なしですよね

勝ったときの期待値(比)は1.5、負けたときの期待値(比)は0.5

これを交互に無限回掛けたらどうなるかということですね。
一ラウンド(一回勝って一回負ける)ごとに、所持金は0.75になりますよね。

公平にするには、勝ったときには所持金と同額をもらわなければなりません。あるいは負けたときの取り分を1/3にしてもらう、ただ、この場合、端数切り上げだと最後はすっからかんになるし、切り捨てだと儲かります。

回答No.3

noname#190252

自分が子とします。
勝った時は１０万円持ってるよ、と言う。
５万円もらえます。
負けた時は１０円しか持ってないよ、と言う。
５円しかとられません。

よって不公平。

回答No.2

hajimehajime

あなたがもってる金額が10000円と仮定しましょう。

1回目あなたの勝ち・・・10000円→15000円
2回目相手の勝ち・・・15000円→7500円
3回目あなたの勝ち・・・7500円→11250円
4回目相手の勝ち・・・11250円→5625円

この時点で2勝2敗なのに、あなたの方が損してます。
よって答えは不公平。

回答No.1

alice_44

公平じゃない？
G円持ってたら、期待値は、(1/3)(1 - 1/2)G + (1/3)(1 + 1/2)G + (1/3)G = G だよ？