二次関数の最大最小

質問

二次関数の最大最小の問題で下に凸のときは
最小は範囲の中か外で場合わけをして
最大は範囲の両端を比べて大きい方を求めるんでしたよね。

で、思ったのですが上に凸のときはどうするんでしょうか？
最大は同じように範囲の中か外で場合わけをするだけだと思うんですが
最小はどうするんでしょうか？範囲の両端を比べるんだと思うんですが
大きい方じゃないですよね？小さい方だとするとどうやって求めるんでしょうか？

それと場合わけのとき、1＜x、x=1、x＞1と場合わけするのを
x≧1、1＜xとあわせてもいいんですよね？

回答お願いします。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

下に凸のときは
・最小は、頂点が範囲の中か外かで場合わけをして
　・頂点が範囲の中ならば、頂点で最小
　・頂点が範囲より右ならば、範囲の右端が最小
　・頂点が範囲より左ならば、範囲の左端が最小
・最大は範囲の両端を比べて大きい方

上に凸のときは
・最大は、頂点が範囲の中か外かで場合わけをして
　・頂点が範囲の中ならば、頂点で最大
　・頂点が範囲より右ならば、範囲の右端が最大
　・頂点が範囲より左ならば、範囲の左端が最大
・最小は範囲の両端を比べて小さい方

要するに、下に凸と上に凸の場合とでは、
・「最大」⇔「最小」
・「大きい方」⇔「小さい方」
というふうに、これら２つの言葉を総取っ替えすればいいんです。

＞＞＞
1＜x、x=1、x＞1と場合わけするのを
x≧1、1＜xとあわせてもいいんですよね？

１＜ｘ　と　ｘ＞１　は同じです。
ケアレスミスでしょうね。

ｘ＜１、ｘ＝１、１＜ｘ　に関しては、
ｘ＝１、およびその前後で関数が連続ならば、
・ｘ＜１とｘ＝１を合わせて　ｘ≦１、１＜ｘ　としてもいいし、
・ｘ＝１と１＜ｘを合わせて　ｘ＜１、１≦ｘ　としてもいいです。
二次関数はどこでも連続なので、これで大丈夫です。

回答No.1

larme001

最初の質問はそうです。
a,bの範囲なら、f(a)-f(b)の値が正ならf(b)が最小値、負ならf(a)が最小値です。というか、グラフの概略図を描いて、意味を考えればすぐわかるはずです。慣れてきたらパターンで暗記してもいいですが、ただ書いてあるままに覚えるだけというのをもしやっているのでしたらやめましょう。

後半の質問は、二時間数の場合分けということですか？もうすこし具体的にならないとはっきりと言えませんが、1<x,x=1,x>1と場合分けする場合はあまりないとおもいますが。大体x≧1,x<1かx>1,x≦1のどちらかで境界はいいとおもうのですが、、、？正確にいえば「場合によります」としか言えません。x=1が特別に場合分けが必要なのか、そうでないのか、、、？
そもそも、「場合分け」とは必要十分なパターンを用いるべきです。たとえば「6人以上必要」という場合は、人数が3人ですか？5人いますか？6人以上いますか？と何回も聞くより、６人以上？と一回だけきいて済ます方がいいにきまっています。「一方、６人以上ほしいけど42人は縁起が悪いからダメ」となった時は42人かどうかは別に聞かなければいけませんよね。

数学とは、単なる数字や記号だけじゃなく、その数字や記号の意味するものも意識してほしいです。