【物理化学の問題】ヘリウム原子の波動関数を

質問

【物理化学の問題】ヘリウム原子の波動関数を

C1・Ψ1s(1)Ψ2s(2)＋C2・Ψ1s(2)Ψ2s(1)

としたとき、規格化条件を用いてC1とC2の値を求めよって問題です。
これはどのようにして解けばいいんですか？ご教授お願いします

回答No.2

101325

規格化条件
∫∫|C1・Ψ1s(1)Ψ2s(2)＋C2・Ψ1s(2)Ψ2s(1)|^2dv1dv2=1

左辺
＝∫∫|C1・Ψ1s(1)Ψ2s(2)|^2dv1dv2＋
　∫∫|C2・Ψ1s(2)Ψ2s(1)|^2dv1dv2＋
　∫∫(C1・Ψ1s(1)Ψ2s(2))*・(C2・Ψ1s(2)Ψ2s(1))dv1dv2＋
　∫∫(C2・Ψ1s(2)Ψ2s(1))*・(C1・Ψ1s(1)Ψ2s(2))dv1dv2
＝|C1|^2・∫|Ψ1s(1)|^2dv1・∫|Ψ2s(2)|^2dv2＋
　|C2|^2・∫|Ψ1s(2)|^2dv2・∫|Ψ2s(1)|^2dv1＋
　C1*・C2・∫Ψ1s(1)*・Ψ2s(1)dv1・∫Ψ2s(2)*・Ψ1s(2)dv2＋
　C2*・C1・∫Ψ1s(2)*・Ψ2s(2)dv2・∫Ψ2s(1)*・Ψ1s(1)dv1

原子軌道関数Ψ1s,Ψ2sが規格直交化されているとすれば、さらに
左辺
＝|C1|^2・1・1＋
　|C2|^2・1・1＋
　C1*・C2・0・0＋
　C2*・C1・0・0
＝|C1|^2＋|C2|^2

よって規格化条件より
|C1|^2＋|C2|^2＝1

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もう少し頑張るなら

|C1|^2≧0より|C2|^2≦1
|C2|^2≧0より|C1|^2≦1

波動関数全体にかかる位相因子は任意に選べるので
C1は負でない実数としてよい。

よって
0≦C1≦1
C2=exp(iδ)・√(1-C1^2)
ただし位相δは0≦δ＜2πを満たす実数

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> これはどのようにして解けばいいんですか？

C1=C2とかC1=-C2とかの何か別の条件がなければ、規格化条件を用いて求めることができるのは、|C1|^2＋|C2|^2＝1という関係式までです。規格化条件からC1=C2=1/√2とかC1=-C2=1/√2とかの解が求められる、ということではないです。

「規格化条件を用いてC1とC2の値を求める」というよりも、「規格化条件を用いてC1とC2のとりうる値に制限をつける」と考えたほうが分かりやすいかも。

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C1=C2とかC1=-C2とかの条件は、規格化条件から課せられる条件ではなく、「電子の入れ替えに関する波動関数の対称性」から課せられる条件です。「電子の入れ替えに関する波動関数の対称性」についての話は、たいていの量子化学の教科書に載っている話ですので、量子化学の教科書でスピン三重項とかスピン一重項とか書いてあるところを読んでみてください。

回答No.1

sak_sak

∫|C1・Ψ1s(1)Ψ2s(2)＋C2・Ψ1s(2)Ψ2s(1)|^2drdθdφ=1
を
∫|Ψ1s(1)|^2drdθdφ=1,∫Ψ1s(1)Ψ2s(1)drdθdφ=0などを利用して解きます。