ベストアンサー 対称群についての質問です。 2007/05/16 15:47 こんにちは。 「対称群Ｓ5の元の位数は、５、４，６，３，２，１のいずれかであることを証明せよ」という問題がわかりません。分かる方、アドバイスお願いします（泣泣） みんなの回答 （2） 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー kabaokaba ベストアンサー率51% (724/1416) 2007/05/16 21:18 回答No.2 有限群Gの部分群の位数はGの位数の約数 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 その他の回答 (1) adinat ベストアンサー率64% (269/414) 2007/05/16 16:57 回答No.1 答えをかくとためにならないので、ヒントを。 S5の元とは要するに{1,…,5}の置換ですが、これはdisjointな巡回置換の積に分解されます。たとえば1→2→3→1、4→5→4なら、(1,2,3)(4,5)といった具合です。分解のされ方は、巡回置換の位数の組み合わせを考えてみればよいです。たとえば上の場合は、3-2型で、この場合は3と2の最小公倍数の6が位数になります。他のケースも同様に考えて見られるとよいです。 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 対称群、交代群。 群論の課題が出たのですが、よくわかりません。 アドバイスお願いします。 （１）４次の交代群A_4の位数４の可換部分群Kを答えよ。 （２）対称群S_4の部分群Hで（１）のKを含み、 位数８の２面体群と同型な群を答えよ。 （１）で部分群の位数は、４の約数だから、１，２，４の どれかであることは、わかるのですが、それからが わかりません。あと、A_4に位数４の元は、存在しない といわれたのですが、なぜですか？ （２）は、どうやって同型な群を見つければよいのですか？ よろしくお願いします。 3次対称群 「3次対称群が位数６の２面体群と同型であることを示せ」がわかる方いらっしゃったら教えてください。よろしくお願いします（＞＿＜） クラインの4元群と対称群について 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という問題です。1.は解けました。（たぶん(1,2+i)になると思います。違ったら教えてください。）2.もn=3のときなど具体的に考えればなんとなくわかるのですが、示し方が分からなくて困っています。また3.もf^i・g・f^(-i)を考えて(2)を用いるとは思うのですが、示し方が分かりません。 どなたか力を貸して下さい。お願いします。 全射準同型 対称群の元にその符号を対応させる写像は、対称群S_nから位数２の巡回群｛±１｝への全射準同型であることを示せ。なんですが、わかりません。教えてください。 巡回群について 「Gを位数nの巡回群とする．このとき，Gの部分群の位数はnの約数で，各約数に対してただ一つ存在する．」 この証明でいくつか分からなかったので教えてください． （以下証明） G=<g>とし，m|nであるとする． ここでn/m=cとおくと，<g^c>は位数mの巡回部分群になる． また，これと異なる位数mの巡回部分群Sが存在すると仮定する． g^k∈S （kはこれを満たす最小の正整数）とすると，剰余の定理から n=qk+r （0<q∈Z，0≦r<k） となるq,rが存在する．このとき， g^r=g^(n-qk)=g^n(g^(-k))^q∈S で，kの最小性よりr=0を得る． よってn=qkとなり，Sの位数はqとなる．－(1) したがってm=qとなり，S=<g^c>．－(2) 以上より，nの約数に対して，ただひとつの巡回部分群が存在する． （証明終） この証明の最後の， (1)：Sの位数はqとなる (2)：S=<g^c> の部分がわかりませんでした． (1)について (g^k)^q=g^qk=g^n=e となりますが，これより「Sの位数はq」ということですか？ (2)については包含関係を示しているのでしょうか？ その辺がよくわかりませんでした． 長文申し訳ありませんがよろしくお願いいたします． 置換群の部分群について 大学の講義で次のような問題が出て、とりあえず解けたのですが、もっわかりやすい解答がないか考えています。 考えているのは次のような問題です。 置換群Ｓ[4]（x[1]、x[2]、x[3]、x[4]上の置換群）の部分集合Ｈを次のように定義する。 Ｈ＝{σ∈Ｓ[4]｜x[1]x[2]＋x[3]x[4]＝x[σ(1)]x[σ(2)]＋x[σ(3)]x[σ(4)]} このとき、ＨはＳ[4]の部分群であることを示し、その位数を求めよ。 私の思いついたやり方は、まずＳ[4]の２４個の元をすべて書きだして、その中でＨに含まれているものをさがし、それらの積の表をつくって、群になっていることを示す、という方法です。しかし実際にやってみるとＨの位数は８であり、積は６４通りあるのでこの方法では効率が悪いです。もっとエレガントな解答はないのでしょうか。よろしくお願いします。 群Gの元ａの位数 35歳すぎにして、代数学の初心者です。 代数における群Gの元aの位数の意味がよくわかりません。位数って群の元の数ですよね？ってことは、元aが位数を持つということは、元aも群だということなのでしょうか？元aは群Gの部分群でないと、元aは位数を持たないのでしょうか？ これがわからないので、「群Gの元aの位数がmnならばa^nの位数はmであることを示せ」などといわれても、ちんぷんかんぷんです。 どなたか、判りやすく教えていただける方がいましたら、よろしくお願いいたします。 対称群の交換子群 教えていただけると嬉しいです。 ｎ次対称群Snの交換子群D(Sn)はｎ次交代群Anである、ということの証明を読んでいて、D(Sn)⊂Anは理解しました。が、An⊂D(Sn)の証明のところがわかりません。 「1≦i＜j＜k≦nとすると、[(i,j),(i,k)]＝(i,j,k)であり、Anは３文字の巡回置換によって生成されるからAn⊂D(Sn)である。」 とあるのですが、「生成されるから」のところまではすべてわかります。ですが、なぜここから結論が出てくるのかがわかりません。 巡回群 「Gを位数がnの巡回群とする。nの任意の正の約数dに対して、Gは位数dの部分群をちょうど1つだけ持つことを示せ。」 私はこれを次のようにして示しましたが・・・。 xをGの生成元とする。するとx^n＝eである。 dはnの約数であるから、∃q∈N s.t. n＝dq が成立。 すると、x^n＝(x^q)^d＝eである。 よって、x^q∈Gから生成される巡回部分群Hを考えると H＝{x^q,x^(2q),・・・,x^((d-1)q),e}で、Hの位数はdである■ (1)とりあえず位数dの部分群の存在は示せたと思うのですが・・・あっているでしょうか？ (2)あと、問題文を見る限り、位数dの部分群の"一意性"も示さねばならないと思うのですが、これがよくわかりません。 位数dの部分群H'を任意に取ってきて、H＝H'であることを示せばいいのかな？と思ったのですが、できませんでした。。。 (1)(2)に関して、どなたかわかる方がいましたら、教えていただけないでしょうか？よろしくお願い致します。 注目のQ&A 「You」や「I」が入った曲といえば？ Part2 結婚について考えていない大学生の彼氏について 関東の方に聞きたいです 大阪万博について 駅の清涼飲料水自販機 不倫の慰謝料の請求について 新型コロナウイルスがもたらした功績について教えて 旧姓を使う理由。 回復メディアの保存方法 好きな人を諦める方法 小諸市（長野県）在住でスキーやスノボをする方の用具 カテゴリ 学問・教育 人文・社会科学 語学 自然科学 数学・算数 応用科学（農工医） 学校 受験・進学 留学 その他（学問・教育） カテゴリ一覧を見る OKWAVE コラム 突然のトラブル？プリンター・メール・LINE編 携帯料金を賢く見直す！格安SIMと端末選びのポイントは？ 友達って必要？友情って何だろう 大震災時の現実とは？私たちができる備え 「結婚相談所は恥ずかしい」は時代遅れ！負け組の誤解と出会いの掴み方 あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト コスメ化粧品 化粧水・クレンジングなど 健康食品・サプリ コンブチャなど バス用品 入浴剤・アミノ酸シャンプーなど スマホアプリ マッチングアプリなど ヘアケア 白髪染めヘアカラーなど インターネット回線 プロバイダ、光回線など
