弧状連結でないことを示したいです。

質問

R2の部分集合A＝｛（ｘ,０）｜０<x≦1｝、B＝｛（０,ｙ）｜０<y≦1｝、C_ｎ＝｛（ｘ,１/ｎ）｜０＜x≦1,nは自然数｝、C=∪(n＝１,∞) C_n について
X=AUBUCが弧状連結にならないことを示したいのですが、どうしたらよいかわかりません。

自分で考えたことを一応書いておきたいと思います。
l：[0,1]→X,l(0)=(1,0),l(1)=(0,1))を満たす弧が存在すると仮定する。
すると、Xの定め方から、l（t）はx軸、y軸に平行な動きしか取れないので、d（l（0）,l（1））は２以上である。
しかし、（0，0）を通ることはできないので、感覚的には、距離は2より小さくなる。これは矛盾。

というように思えるのですが、感覚的に2より小さく思えることをlの連続性を使って、調べたいのですが、どのようにしたらいいでしょうか？

ほかにやり方があるのなら、その方法でもいいので、わかる方教えていただけませんか？

回答No.4

muturajcp · ベストアンサー

#2です。補足質問に答えます
>「・f(a)∈Xっていえるんでしょうか？」
1>a=lim_{n→∞}t_n≧0
f:[0,1]→X,{f(0)=(1,0),f(1)=(0,1)}を満たす連続写像f:弧が存在すると仮定する。
(fの値域はXとする)
という仮定からf(a)∈Xといえます。

>「・f(t_n)∈p^{-1}(b_n)={(x,b_n)}ではないでしょうか？」
f(t_n)∈p^{-1}(b_n)={(x,b_n)}
「p:X→R,p(x,y)=y,(第2成分への射影)とする」というpの定義から
pの定義域はXと定めているため
{(x,b_n)}=p^{-1}(b_n)⊂p^{-1}(R)=X
(x,b_n)∈X
1/(n+1)<b_n<1/n だから
(x,b_n)∈X-A
(x,b_n)∈X-C_n
(x,b_n)∈B={(0,y)|0<y≦1}
∴x=0
だから
f(t_n)∈p^{-1}(b_n)={(0,b_n)}

なお#3の方の
「f(t)=(x,y[n])となるtが存在するには、x=0でなければなりません。」
で
x=0である事は必要条件であって、
f(t)=(0,y[n])となるtが存在する事を示してはいません。
f(t)=(0,y[n])となるtが存在する事は
中間値の定理からいえます。

お礼

確かに、そうですね。
どうもありがとうございました。
丁寧に解説していただき、嬉しく思います。

回答No.3

noname#163983

仮に、連続写像f:[0,1]→Xで、f(0)=(1,0),f(1)=(0,1)となるようなものが存在するとします。

任意の自然数nについて、1/(n+1)<y[n]<1/nとなるような実数y[n]がとれます。

f(t)=(x,y[n])となるtが存在するには、x=0でなければなりません。
（※x≠0とすると(x,y[n])∈C_kとなるkが存在しなければならなくなって矛盾）

そのようなtをt[n]とします。つまりf(t[n])=(x,y[n])です。

さて、[0,1]は有界閉集合なので(t[n])の収束部分列(t[n(k)])がとれます。

ところが点列f(t[n(k)])はk→∞のときXで収束しません。
（※k→∞のときy[n(k)]→0になるが、(0,0)はXの元ではない)

これはfが連続であることに矛盾します。

回答No.2

muturajcp

Xは連結です。
Xが連結でないならば、X=G∪H,G∩H=φ,G≠φ,H≠φ,G開,H開となるG,Hが存在するはずですが、
そのようなG,Hは存在しません。(証略)
B∪Cは開ですが
Aは開ではありません。
Aと(B∪C)は連結しています。(弧状連結でないけれども)

Xは弧状連結でないことだけを示します。
A={(x,0)|0<x≦1}
B={(0,y)|0<y≦1}
C_n={(x,1/n)|0<x≦1,nは自然数}
C=∪_{n=1～∞}C_n
X=A∪B∪C
f:[0,1]→X,{f(0)=(1,0),f(1)=(0,1)}を満たす連続写像f:弧が存在すると仮定する。
b_n=[(1/n)+{1/(n+1)}]/2
p:X→R,p(x,y)=y,(第2成分への射影)とする
射影pは連続だから合成写像
g=p○fも連続
g(0)=0<1/(n+1)<b_n<1/n<1=g(1)
だから中間値の定理より
g(t_n)=b_n
となる0<t_{n+1}<t_n<1が存在する
{t_n}は単調減少下に有界だから下限
a=lim_{n→∞}t_n≧0が存在する
p(f(t_n))=g(t_n)=b_n
1/(n+1)<b_n<1/nだから
f(t_n)∈p^{-1}(b_n)={(0,b_n)}だから
f(t_n)=(0,b_n)∈B
fは連続だから
f(a)=f(lim_{n→∞}t_n)=lim_{n→∞}(0,b_n)=(0,0)∈R2-X
となってf(a)∈Xに矛盾する
∴
Xは弧状連結でない

補足

・f(a)∈Xっていえるんでしょうか？

・f(t_n)∈p^{-1}(b_n)={(x,b_n)}ではないでしょうか？

回答No.1

stomachman

> しかし、（0，0）を通ることはできないので、感覚的には、距離は2より小さくなる。

　「距離」っておっしゃるのは「みちのり」のことですよね。行ったり来たりの無駄な迂回をすればみちのりは幾らでも長くなりうるし、そもそもみちのりが定義できないような弧も幾らでもありうる。なので、このアプローチはあんまり良くないと思いますよ。

　ところで、A, B, C_n, B∪Cはそれぞれ弧状連結である。AとBは連結してない。また、AはどのC_nとも連結していない。
　ここで「Aが(B∪C)と連結している」と仮定すると、どうでしょ。
　仮定からAの点aからBの点bへ至る弧wが存在する。しかし、AはBと連結していないから、弧wは途中で少なくともひとつのCの点cを経由しているはず。そして、cは必ずどれかのC_nに属する。ということは、この弧wによってAとC_nが連結。