行列の問題について、教えてくださいっ

質問

E：ｎ次の単位行列とする。
このとき任意のｎ次正方行列Ｂに対して、
ＥＢ＝ＢＥ＝Ｂ
が成立することを証明せよ

という問題なんです。レポート提出しなければいけないのですが、うまくかけなくて・・・２次や３次と決められていたら簡単なんですけど、ｎ次をどうあらわせばいいのか・・・ｂ11～ｂijとだらだら羅列するしかないんでしょうか？
友人内みなわからなくて、ネットで解説載っていないかな、と探していたらここを見つけました。
新参者がいきなりですみませんが、なるだけいそいで助言お願いします。

回答No.2

KENZOU · ベストアンサー

n次行列Ａ、Ｂの積の行列をＣとします。つまり
　Ｃ＝ＡＢ　　(1)
これをi行j列の成分表示で書くと
　Ｃ_ij＝Σ(k=1,n)Ａ_ikＢ_kj　　(2)
とかけますね（→例えば3次の正方行列を具体的に書いて確認して下さい）。今、Ａを単位行列とすると(2)は
　Ｃ_ij＝Σ(k=1,n)Ｅ_ikＢ_kj　　(3)
と書けます。単位行列は対角成分が１でそれ以外は０の行列ですからクロネッカーのδを使うと
　Ｅ_ik＝δ_ik(i=k・・・１、i≠k・・・０）　(4)
と書けます。これを(3)に代入すると
　Ｃ_ij＝Σ(k=1,n)δ_ikＢ_kj　
　　　　＝Ｂ_ij　　(5)
となって結局Ｃ＝Ｂとなります。全く同様にしてＢＥを計算すると
　Ｄ_ij＝Σ(k=1,n)Ｂ_ikδ_kj
　　　　＝Ｂ_ij　　(6)
となってＤ＝Ｂが成立します。以上を整理するとＥＢ＝ＢＥ＝Ｂが成り立ちます。

お礼

ありがとうございました！
すごく数学的にきれいに証明できてておぉってかんじです。
これでレポートが提出できます。本当に助かりましたｍ(＿＿)ｍ

回答No.1

ranx

n以下の任意の自然数i,jについて、
EB,BE,Bのi行j列の値が一致することを
示せば良いのでは。

お礼

ありがとうございました！参考にします。