等長写像と測地線の関係について(リーマン幾何学)

質問

M、Nをリーマン多様体、f:M→Nを局所等長写像とするとき、fはMの測地線をNの同じ速さの測地線に移すと本に書いてあったのですが、どうして同じ速さの測地線に移すと言えるのでしょうか。本にはさらっと書いてあるだけだったので、理由が知りたいです。
もし証明があれば、それも一緒に教えていただけたら有難いです。
よろしくお願いします。

回答No.1

stomachman

その本よりこってりしてるかどうかは保証しませんが：

　Mの点A, Bを両端とする勝手な経路Cを考えます。すると、f(C)はf(A), f(B)を両端とするN上の経路になり、f(C)の道のりは（道のりを出すには局所の計量を経路にそって積分するわけで、そしてfが局所等長なのだから）Cの道のりと同じ。
　で、A, Bを両端とする経路Sが測地線であるということは、SはA, Bを両端とするあらゆる経路Cの中で道のりが最短であるってことですから、f(S)はf(A), f(B)を両端とするあらゆる経路f(C)の中で道のりが最短である。だからf(S)は測地線。