対数グラフ ｆ（ｘ）＝ｘ＋Lnx の問題です

質問

【f(x)=x＋Ln x (Ln=自然対数）の、逆関数f^-1(x)のグラフを描き、関数と逆関数のグラフの交点の座標を求めよ　】　　という問題があります。

自然対数・対数のグラフについては、少しずつ理解してきたのですが、

ｆ（ｘ）＝Ln（x-2）　などではなく、ｆ（ｘ）＝ｘ＋Lnx　となると、どう変わるのかがわかりません。

この与式を、どのように変形させるのでしょうか？

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

y=x+ln(x)　…(1)
のグラフは
y=xのグラフとy=ln(x)のグラフのy座標を加えれば描けるでしょう。
対数の真数条件から　x>0 が定義域で
　x→+0のとき　y→-∞
　x=1のとき y=1
　ｘ→+∞のとき　y→+∞
　x>1のとき　y>x
の単調増加のグラフとなります。yの値域は-∞～∞です。

逆関数のグラフはxとyを入れ替えた　x=y+ln(y) …(2)
のグラフであることはお分かりですね。
(2)のグラフは、(1)のグラフを直線y=xについて線対称移動したグラフとなるので、
逆関数の(2)はxの定義域は-∞～+∞で
　x→-∞のとき　y→+0
　x=1のとき y=1
　ｘ→∞のとき　y→+∞
　x>1のとき　y<x
の単調増加のグラフとなります。yの値域は+0～+∞です。

したがって(1)と(2)の交点の座標は
　(1)とy=xの交点の座標と一致し一個しか存在しません。
　交点の座標は(1,1)の１つだけになります。

お礼

とてもご親切な回答を、ありがとうございます。
ちょうど今朝方、limの勉強をしていたので、ご説明がよくわかります！

とても助かりました。
どうも　ありがとうございました。

回答No.1

tmpname

＊問題は先ず逆関数の「グラフを書き」であって、逆関数の「具体的な式を求めよ」ではないでしょう？元の関数とその逆関数とはどういう関係になっているか分かりますが？それこそグラフにするとどういう位置関係になっているか習ったはずです。
＊関数と逆関数のグラフの交点の座標を求めよ、という問いも、同様に逆関数の具体的な式が分からなくても出るはずです。

お礼

高校には通ったことがなく、独学で進めております…。
ですが、関数と逆関数の関係については、サイトで見たことがあります。

早速のご回答を、どうもありがとうございました。