一様最強力検定の求め方について

質問

一様最強力検定の求め方について

お世話になります。
X_1,X_2,…X_nは対外に独立で、負の２項分布NB(r,p)に従う確率変数で、rを既知とする。
このとき、H_0: p≦p_0 VS H_1: p>p_0　にたいする一様最強力検定の求め方を教えてください。

よろしくお願いします。

回答No.2

noname#227064 · ベストアンサー

NB(r,p)に従う確率変数Xの確率関数を
f(X,r,p)
とおきます。

まず、
p_0 < p_1
となるようなp_1を選び
H_0: p = p_0 vs H1: p = p_1
という限定した検定の最強力検定を求めます。

ネイマン・ピアソンの補題から、X_i = x_i（i=1～n）が
Πf(x_i,r,p_0)/Πf(x_i,r,p_1) <= c （Πはi=1～nの積）　　(1)
を満たすとき、棄却する検定方法が最強力検定となることがわかります。
（必要であれば確率化検定をすることになります）
不等式(1)は、
Πf(x_i,r,p_0)/Πf(x_i,r,p_1)
= Π{(1-p_0)^x_i p_0^r}/Π{(1-p_1)^x_i p_1^r}
= {(1-p_0)/(1-p_1)}^Σx_i (p_0/p_1)^nr <= c
と書くことができ、最後の不等式の両辺の対数をとれば、
log {(1-p_0)/(1-p_1)}^Σx_i (p_0/p_1)^nr <= log c
Σx_i log {(1-p_0)/(1-p_1)} + nr log (p_0/p_1) <= log c
Σx_i <= C　　(1')
（ただしC = {log c - nr log (p_0/p_1)} / log {(1-p_0)/(1-p_1)}とおいた）
となるような検定方法が最強力検定となると言い換えてもよいことがわかります。

(1')式の検定方法は、p_0 < pであるような任意のpについても同様に言えることから、
H_0: p = p_0 vs H1: p > p_0
という検定においても、この方法が一様最強力検定となります。
p < p0
となるようなpについて、(1')を満たす確率が有意水準より低くなることを証明すれば、
H_0: p <= p_0 vs H1: p > p_0
という検定においても、(1')の方法が一様最強力検定であることが言えます。
（尤度比が単調増加関数なので、
H_0: p <= p_0 vs H1: p > p_0
についても言えるのですが、こちらは教科書等をご覧になった方が良い思います）

Cの値はΣX_iがNB(nr,p)に従うことから、(1')式を満たす確率を有意水準以下になるように設定すれば求められます。

確率化検定をする場合は、Cを(1')式を満たす確率を有意水準未満、
Pr(Σx_i < C) < α
となるように設定し、(1')で等式が成立するときは確率
(α - Pr(Σx_i < C)) / Pr(Σx_i = C)
で対立仮説を棄却すればよいことになります。

お礼

大変わかりやすい説明ありがとうございました。m(__)m

回答No.1

noname#227064

ネイマン・ピアソンの補題より最強力検定を求めて、それがp>p_0である任意のpで同じことがいえることを確かめれば、それが一様最強力検定となりますが、お持ちの教科書等には記載されていないのでしょうか？

補足

ご返信いただきありがとうございます。
ネイマンピアソンの補題を使うことはわかるのですが、
有意水準αに付随する定数
（標本平均が、その定数より大きいか小さいかで、棄却するかしないかが決まる定数です）
をαの関数で表したいのですが、それのやり方がわかりません。
また、標本平均がその定数と一致するときの、確率定数の定め方も求め方がわからないのです。

よろしくお願いします。