tan(ka)の近似式

質問

tan(ka)の近似式

下記URLに載っている式について、(1)式という条件において、
(2)式から(3)式が導出されるのですが、
なぜ(3)式が出てくるのかわかりません。

ここで(2)から(3)を導く際にk±→k(1)　ρ±→ρ(1)という定数の置き換えが行われているということをご理解ください。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

(2)式を
tan(x)=p
と表わします。
p=-k/ρ±2k/ρexp(-2α）
α>>1なので
exp(-2α）<<1
また
|k/ρ|<<1を仮定します。
このとき
|p|<<1です。

|x|≦1のとき級数展開により
tan(x)=x+x^3/3+...
よって(2)式は
tan(x)=x=p
周期性により
tan(x)=pのとき
x-π=p
よって
x=π+p

お礼

ご回答いただいたことに、ここで御礼申し上げます。
また、補足の部分について教えていただけると助かります。

補足

丁寧にご回答いただき、誠にありがとうございます。

簡単なことで申し訳ありませんが、
いくつか質問させていただけないでしょうか。

(1)

｜k/ρ｜<<1を仮定するとかかれていますが、
なぜこう仮定できるのでしょうか？
また、どうしてこういう仮定をおくというアイデアを思いついたのでしょうか。

(2)

＞|x|≦1のとき級数展開により
＞tan(x)=x+x^3/3+...
＞よって(2)式は
＞tan(x)=x=p

この論理展開が理解できません。
xが小さいということは元の式で言うkaが小さいということですが、
kaが小さいということはなぜいえるのでしょうか？

(3)

＞周期性により
＞tan(x)=pのとき
＞x-π=p

ここが理解できません。
周期性とはなんなのでしょうか？

ことごとくやさしすぎる質問で申し訳ありません。

回答No.2

spring135

No.1です。このような計算では級数展開によって第一項目を取って考えるのが定石です。そのためには関数形や引数に注意する必要があります。

(1)
｜k/ρ｜<<1を仮定するとかかれていますが、
なぜこう仮定できるのでしょうか？
また、どうしてこういう仮定をおくというアイデアを思いついたのでしょうか。

→exp(-x)の項はｘ>>1のとき急速に小さくなりますから、｜k/ρ｜<<1を仮定するとすべてが小さくなり、全体の話が通るという意味です。

(2)
＞|x|≦1のとき級数展開により
＞tan(x)=x+x^3/3+...
＞よって(2)式は
＞tan(x)=x=p

この論理展開が理解できません。
xが小さいということは元の式で言うkaが小さいということですが、
kaが小さいということはなぜいえるのでしょうか？

→kaが小さいということは質問者が確認すればよいことであって、tan(x)=x=pとしうるための必要条件です。

(3)

＞周期性により
＞tan(x)=pのとき
＞x-π=p

ここが理解できません。
周期性とはなんなのでしょうか？

→tan(x)は周期関数で周期はπということです。三角関数の基本的性格です。

お礼

ご回答いただき、ありがとうございます。
無事理解できました。

理解の悪い質問者で申し訳ありません。