近似式について

質問

近似式について

今、プレス機械の本で勉強中でつっかかったところがあります。

√(1-λ^2*(sinθ)^2)を1-λ^2/2*(sinθ)^2で近似しているところです。

この近似式の導出の過程がわかりません。わかる人がいましたらよろしくお願いします。

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

平均値の定理
f(x)-f(a)=f'(c)(x-a),(a<c<x)

この場合
f(x)=root{1-x}.
f'(x)=-1/2root{1-x}.
a=0.

root{1-x} - 1=-x/[2root{1-c}].

0<c<x、なのでxが十分小さいならばc≒0です。

なのでroot{1-x} ≒ 1-x/2.

おそらく、0<θが十分小さいと仮定していると思います。
その場合、0<sin^2(θ)<sin(θ)<θですので、
上記の近似式で、x=λ^2sin^2(θ)とできます。

お礼

x=λ^2sin^2(θ)とおいて単純に代入していいのか疑問でしたが
なんとかわかりました。

半径rの円弧長さの式の応用から
2πr*θ/(2π)=rθ

θが限りなく0に近いとき、rθ≒r*sinθ　よって　θ≒sinθ
とかけるからですよね!?

補足

すいません、√(1-λ^2*sin^2(θ))の微分結果もできればお願いします。

しばらく、微分やってなかったもので、あと教科書が手元にないのでお願いします。

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。

次の近似式の応用ですね。
(1+ x)^n≒ 1+ nx　（ただし、|x|<< 1）

この近似式自体は、テイラー展開の 2次以上の項を無視することから得られます。
無視するためには、x（の絶対値）が 1よりも非常に小さい必要があります。

いまの式であれば、|sinθ|≦ 1ですから、λが非常に小さいという条件があれば、
x＝ λ^2* (sinθ)^2とおくことで
(1- x)^(1/2)≒ 1- x/2

とすることができます。

お礼

回答ありがとうございました。