加法定理 tan(π/4±ω) について

質問

加法定理として下記が記してあるのですが、
　　tan(π/4±ω)＝sec2ω±tan2ω
どのように導出するのでしょうか。

下記の公式は調べることはできたのですが、
　　tan(π/4+ω)＝(1+tanω)／(1-tanω)
　　tan(π/4-ω)＝(1-tanω)／(1+tanω)
上記の加法定理までは導出できないでおります。
教えて頂けないでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.1

staratras · ベストアンサー

tan(π/4+ω)＝(1+tanω)／(1-tanω)
あとは計算だけです。

上式={（cosω+sinω）/cosω}/{（cosω-sinω）/cosω}
=（cosω+sinω）/（cosω-sinω）
=（cosω+sinω）^2/{（cosω)^2-(sinω)^2}
=（1+2cosω・sinω）/cos2ω
=（1+sin2ω）/cos2ω
=sec2ω+tan2ω

マイナスのときも同様です。

回答No.2

178-tall

>　　tan(π/4±ω)＝sec2ω±tan2ω
　　…
>下記の公式は調べることはできたのですが、
>　　tan(π/4+ω)＝(1+tanω)／(1-tanω)
>　　tan(π/4-ω)＝(1-tanω)／(1+tanω)
>上記の加法定理までは導出できないでおります。

「倍角公式」から「半角公式」を導くシナリオでは、確かに見通しつけ難そう。
図形上で tan の「半角公式」を導くには、
http://denofhardworking.blog.fc2.com/blog-entry-404.html
tan の半角公式の意味
などが参考になりそうです。

算式ならば、双曲線 (複素) 関数の半角公式、

　　　↓ 参考 URL / Hyperbolic identities

　tanh(θ/2) = sinh(θ)/{ cosh(θ) + 1 } = { cosh(θ) - 1 }/sinh(θ)
の虚軸上での値を使う手など…。
　(祈御健闘)

参考URL：

https://en.wikipedia.org/wiki/Tangent_half-angle_formula#Hyperbolic_identities