近似式の補正

質問

f(x)=1/24*x*(x^2-1)(x-1)を
y(x)=1/2*a*x(x-1)で近似するために最小２乗法で
y(x)=-0.0003+0.0938x^1-0.0938x^2
と言う近似式を求めたのですが-0.0003の定数を補正する方法が思いつきません。何か方法はありませんか。
それとも-0.0003は小さいので無視しても良いのでしょうか。
回答お願いします。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

> y(x)=1/2*a*x(x-1)で近似するために最小２乗法で
> y(x)=-0.0003+0.0938x^1-0.0938x^2
> と言う近似式を求めた

それじゃまずいですね。 y(x)=(1/2)a x(x-1)で近似したいのなら、変数はaだけ。
　　y(a,x)=(1/2)a x(x-1)
そして、近似しようとする点 x[j] (j=1,2,…,n)について、残差
　　ε[j] = y(a,x[j])-f(x[j])
の二乗和である
　　E = Σ(ε[j])^2　　（Σはj=1,2,…,nの総和）
を最小化するんです。つまり、
　　 dE/da =0
になるaを求める。左辺は
　dE/da = Σ( ((1/2)a x(x-1)-f(x[j]))x(x-1) )
だから、答は
　　a = 2(Σ(f(x[j])x(x-1)))/(Σ((x(x-1))^2))
のはず。あ、いや、stomachmanは計算間違いの常習犯ですが。

お礼

回答ありがとうございます。
最小２乗法を使って解くものだと思い込んでいました。
むしろ、数学的なセンスがダメだったように感じます。
おかげさまで、このような近似の問題について深く理解できました。
本当にありがとうございました。

回答No.2

stomachman

ANo.1のコメントについて。

> 最小２乗法を使って解くものだと思い込んでいました。

　それでいいんですよ。最小２乗法ってのは「パラメータを決定するために、残差二乗和Eを最小化するようなパラメータを求める」という手法全般の名前です。で、ご質問の場合、パラメータはaだけであり、最小２乗法はANo.1の通りです。