高校物理 ベータトロン

質問

高校物理　ベータトロン
ベータトロンの原理について手元の参考書では、
『電子(電荷-e質量m速さv)が磁場Bを加えたベータトロン内で半径rの円を描いている。
rを一定に保ったまま電子を加速するため、円を貫く磁束を微小時間ΔtにΔΦ増した。
電子のエネルギーがeΔV増すとしてΔVを求めよ。』という問題に対して、
『mv^2/r=evB
誘導電場をEとして電磁誘導の法則より、E・2πr=ΔΦ/Δt
誘導電場による力eEのした仕事の分だけ電子のエネルギーが増すから、
eΔV=eE・vΔt　よって、ΔV=EvΔt=eBΔΦ/2πm』
という説明になっていたのですが、
誘導電場のした仕事がeE・vΔt　となるのがよくわかりません。
誘導電場が仕事をしている間電子の速さはvで一定ということなんでしょうか、、、
微小時間といっても電子のエネルギーは増加しているのでやはり速さはvのままではないような気もします。

どなたか教えていただけたら嬉しいです。

回答No.2

yokkun831 · ベストアンサー

ΔV=EvΔt=eBΔΦ/2πm

あなたの疑問は，この式のBにも向けられなければならないのです.
たとえば，vをΔtの間の平均v~に置き換えたとしましょう.
すると，BもΔtの間の平均B~に置き換えなければなりません.
この問題でvとBは比例関係にありますから，置き換えた影響は左右同じなのです.
ですから，はじめからそれを無視してよいことになります.

さらに，微小時間というときには，最終的には「高校レベル」の枠を超えて，有限時間について「積分する」という操作がつきものです.つまり，微小時間Δtの扱いは，dtと同じで最終的には無限小の極限をとるという前提において用いられます.　接線方向の加速度をaとでもおいてvの代わりにΔtの間の平均の意味でv+1/2 aΔtと書くとします.すると
(v+1/2 aΔt)Δt = vΔt + 1/2 aΔt^2
となりますが，（実際ここでほしいものはdV/dtであると考えて）Δtで割って無限小の極限をとれば，第2項は消失してしまいますね？　

このように「微小時間」Δtという表現を用いる場合，それは「無限小」と考えてよいのです.　たとえばvΔtは，最終的には変化するv(t)の積分∫v(t)dtにつながるのであり，微小時間Δtの間のvの変化を考えなくてよいわけは，区分求積法において区分幅を最終的に無限小にする極限をとったもの＝積分につながる考え方をしているからです.

回答No.1

noname#160321

>微小時間といっても電子のエネルギーは増加しているのでやはり速さはvのままではない
それなら一般解を求めなさい。
微小時間と言うからにはその間の物理量の変化は一定なのです。