只今数学を勉強中のものです。

質問

只今数学を勉強中のものです。
二分法とはどのようなものでしょうか。
具体例を挙げてわかりやすく説明していただけないでしょうか。

回答No.2

Ishiwara

二分法で10の平方根を求めてみましょう。
まず、答がA=3とB=４の間にあることは分かります。
(1) AとBの真ん中を取り、これをCとします。
(2) Cを２乗します。
(3) C^2が10以上なら、B=Cとします。10未満ならA=Cとします。
(1)～(3)を繰り返します。任意のところでやめます。やり方は、これだけです。

観察すると、次のように変わっていきます。
A=3, B=4, 幅=1
C=3.5, C^2=12.25
A=3, B=3.5, 幅=0.5
C=3.25, C^2=10.56
A=3, B=3.25, 幅=0.25
C=3.125, C^2=9.77
A=3.125, B=3.25, 幅=0.125
C=3.1875, C^2=10.160
A=3.125, B=3.1875, 幅=0.0625
C=3.15625, C^2=9.962

幅すなわち|A-B|が、毎回半分になっていきます。これが「二分法」の名前のもとです。
二分法はニュートン法などに比べて,収束速度がはるかに遅くなります。f(x)（ここではルート(x)）の逆関数が分かりさえすれば二分法が使えますが、f(x)の微分ができるなら、ニュートン法を使うべきです。
どちらの方法も、関数が単調増加または単調減少でないと、思わぬワナにはまることがあります。

回答No.1

banakona

方程式の解（近似値）を計算機で求める方法（求根法）の一つ。

与えられた方程式をｆ（ｘ）としたとき、ｆ（ａ）＞０、ｆ（ｂ）＜０となるａ，ｂを持ってくる。
ｆ（（ａ＋ｂ）／２）がプラスなら（ａ＋ｂ）／２を新たなａとする。マイナスなら（ａ＋ｂ）／２を新たなｂとする。（ゼロなら（ａ＋ｂ）／２が解）

以下、これを繰り返して、ｆ（（ａ＋ｂ）／２）がゼロになるか又は十分ゼロに近づいたら（ａ＋ｂ）／２）を解（近似値）とする。

長所：計算が簡単（二分法と並んで有名な求根法にニュートン法があるが、
　　　これは微分係数を求めるなど計算がやや複雑）
　　　ｆ（ｘ）が少なくとも解の近くで連続関数で、上記条件を満たせば解ける
　　　（これに対しニュートン法は、ｘ^(1/3)＝０という簡単な方程式を解くことができない）
短所：上記条件を満たすａ，ｂを探すのが面倒かも（ニュートン法では不要）
　　　重解は求められない可能性が大。例えばｘ^2＝０という超簡単な方程式が解けない。
　　　（ニュートン法なら解ける）