数３ 体積

質問

座標空間で円板C：x^2+y^2≦１、z=0の上を動く点Pと、２定点A（1,0,1）B（-1,0,1）がある。線分AP全体でできる立体をD1、線分BP全体でできる立体をD2とする。
（１）D1を表す不等式を求めよ。
（２）D1とD2の共通部分の体積を求めよ。

この問題を解こうと思ったのですが、数３の教科書等で習ったのとは違っていて、図示してみても何をしたらよいのかがわかりません。P(x,y)として線分APの式を考えようとしたのですが、不等式として表せませんでした。何か考え方のヒントを教えていただければ幸いです。よろしくお願いします

回答No.1

freedom560 · ベストアンサー

P(a,b,0) とおきます。
Pはx^2+y^2≦１,z=0上よりa^2+b^2≦１を満たします。

このとき、A(1,0,1)、P(a,b,0)からできる線分APは
x=a+z-az,y=b(1-z) (ただし、0≦z≦1)です。

z≠1のとき、a=(x-z)/(1-z),b=y/(1-z)なので、a^2+b^2≦１に代入すると、

(x-z)^2+y^2≦(1-z)^2・・(1)

z=1のとき、x=1,y=0より、この場合も(1)が成り立っています。

∴(x-z)^2+y^2≦(1-z)^2（ただし、0≦z≦1）

同様にD2は
(x+z)^2+y^2≦(1-z)^2・・(2)
ですね。
つまり、z=kの平面（0≦k≦1）上で

D1：中心(k,0)で半径1-kの円
D2：中心(-k,0)で半径1-kの円

です。これらの共通部分(面積)を求めて0≦k≦1で積分したらよいのではないでしょうか？

お礼

回答ありがとうございました。とてもわかりやすく説明していただいて助かりました