立体の式の形もわからない。

質問

x^2+y^2+log(1+z^2)<log2の定める立体の体積を求めよ。
　立体の想像もできません。どのように考えていけばいいのかだけでも教えてください。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

> =zlog2-2∫(2z^2)/(1+z^2)dz
これは間違い。正しくは
=zlog2-∫[0→1](2z^2)/(1+z^2)dz

>までいきましたが、2行目のなるのに苦労しています。

>(2z^2)/(1+z^2)
=2{1-1/(1+z^2)}
単に分子を分母で割って（多項式の割り算）部分分数に展開しただけ。
∫1/(1+z^2)dz=arctan(z)+C

最終的な立体の体積Vは積分していくと
　V=π(4-π)
となります。

>わかりやすくありがとうございます。図形は何というソフトできれいに描けるのでしょうか。もし差し支えなかったら教えてください。私にもできるかしら。
3Dプロットしたソフトはフリーソフトの「GRAPES」のサイト中に用意され
「3D-GRAPES」です（GRAPESでGoogle検索すればdownloadサイトが出てきます）。このソフトを使う場合、プロットできる形に式を変形してやらないと綺麗な3Dグラフが描けません。プロットしたグラフを回転させて見やすい角度から見た図を選んで、それをWindowsのクリップボードに取り込んで、Windows内蔵の「ペイント」で説明用の文字や式や図の修正（座標軸を短くしたり、補助線を入れたりetc）したものをJPGで保存して、ここにアップしています。

お礼

ありがとうございます。そうでした。割り算したのみの基本の積分でした。
GRAPESですか。検索してみます。
ありがとうございました。

回答No.3

info22

#2です。

図にミスがありましたのて改めて添付します。

回答No.2

info22

＞x^2+y^2+log(1+z^2)<log2
立体の体積は境界面（厚さは0）を含めても変わりませんので
x^2+y^2+log(1+z^2)≦log(2)
とした方が問題として自然だと思います。
以降、境界面を含めて考えます。

>立体の想像もできません。
立体の形状は添付図のようなハンドボールを立てたような形状の立体の境界面を含む内部です。

z軸の周りに対称な立体なので、回転体の体積の公式を適用して体積Vを求めるだけです。立体はz=0の面に対称なのでz≧0の部分を求めて2倍すれば体積が求められます。
z（-1≦z≦1)における回転体の半径をrとすれば
r^2=log{2/(1+z^2)}
なので体積Vは
V=2π∫[0→1] log{2/(1+z^2)}dz
この位の積分ならできると思いますのでやってみて下さい。

(ヒント）
log{2/(1+z^2)}=log(2)-log(1+z^2)
∫log(1+z^2)dz=z*log(1+z^2)-∫z(2z)/(1+z^2)dz
=z*log(1+z^2)-2∫{1-1/(1+z^2)}dz

分からなければ途中計算を書いて、分からない箇所について質問して下さい。

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補足

わかりやすくありがとうございます。図形は何というソフトできれいに描けるのでしょうか。もし差し支えなかったら教えてください。私にもできるかしら。
さて、
>∫log(1+z^2)dz=z*log(1+z^2)-∫z(2z)/(1+z^2)dz
>=z*log(1+z^2)-2∫{1-1/(1+z^2)}dz
の部分ですが、
V=[z*log(1+z^2)](0→1)－∫z*(2z)/(1+z^2)dz
=zlog2-2∫(2z^2)/(1+z^2)dz
までいきましたが、2行目のなるのに苦労しています。その後も考え中
です。たぶん、言われれば、あ、と思うのでしょうが、悩んでいます。
どこが違うかも含めて。

回答No.1

f272

zを固定して考えれば，分かりやすいよね。
zを含む項を右辺に回して
x^2+y^2<log2-log(1+z^2)
とすれば，この図形の境界が半径√(log2-log(1+z^2))の円になりそうだと思うでしょう。ただし√の中身は負でないはずだからlog2>=log(1+z^2)となって|z|<=1

お礼

ありがとうございます。実際の立体図形がわからなくても解ける問題もあると思いますが、この不等式を満たす図形って実際にどんなものなのかも知りたいところです。
　ヒントを参考にもう少し考えてみます。
　　ほんとは、もう少し教えてほしいのですが。
ありがとうございました。