数学難問解ける人いますか？

質問

法政大学法学部の入試問題です。
自分はこれを答えを見ながら解いていて、全くわけが判りませんでした＾＾
だから、ホントにこんな問題答え(解説）を見ないで答えられる人がいるのかなー？と思って投稿しましたｗ

問題
α、ｂ、ｃを３辺の長さとする三角形がある。
条件
　α3（ｂ－ｃ）＋ｂ3（ｃ－α）＋ｃ3（αーｂ）＝０
が成り立つとき、この三角形はどんな三角形か。

１番早く正解した人に良回答をあげたいとおもいます。

回答No.2

oshiete_goo · ベストアンサー

a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)=0
でいいのでしょうか．

それならば
左辺を f(a,b,c)とおくと，
f(a,b,c)は任意の２文字の交換に対して反対称で，
[∵f(b,a,c)=－f(a,b,c)など]

a,b,cの３文字に関する４次の同次交代式です．

するとf(a,b,c)は差積(a-b)(b-c)(c-a)で割り切れて，これは３次なので，あと１次の
a,b,cの対称式との積になるので，それは　k(a+b+c)　(kは０でない定数)
f(a,b,c)＝k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) (kは０でない定数)
と書けます．これを与式と係数比較して，例えばaについてa^3の項の係数を見れば
k＝－１と決まり，結局
f(a,b,c)＝－(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)

（要するに因数分解すれば，途中は不要．）

したがって，
(与式)
⇔　－(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)=0
⇔　a=b or b=c or c=a (∵a,b,c＞０)

よって与えられた３角形は３辺a,b,cのうち少なくとも２辺が等しい二等辺三角形（または正三角形）です．

間違っていたら，違うとだけお答え下さい．

お礼

二等辺三角形で正解です！(°ｏ°)　おおっ！！
ちなみに、α3＝α＾3（三乗）の間違いです＜(。_。)＞ モウシワケナイ。

解法をみてもさっぱりな自分は、もっともっと特訓が必要ですね.
入試までに頑張って解けるようにしたいと思います。
解答方法も尊敬です＾＾

回答No.3

ma-ku-

二等辺三角形じゃないですか。
α３はαの三乗ってことですか？
αを長辺として、αについて因数分解して、b=c
と解なしがでる。
よって二等辺かな？

お礼

二等辺三角形で正解です！
自分もこの問題を解けるように、日々精進していきたいと思います。回答ありがとうございました。

回答No.1

ahozz

α3、b3、c3は何を表しているのでしょうか？

直感的には二等辺三角形のような気がしますが、
α3、b3、c3の意味がわからないとなんとも言えません。

お礼

すみません。α3＝α^3　の間違いです。
f(^_^;　スミマセン