光学の問題です。

質問

光学の問題です。

回転楕円体の面鏡の1つの焦点から光が鏡面に反射してもう一方の焦点に至ることを示せ。

という問題です。頭ではなんとなく理解できるのですが、証明となると全くわかりません。よろしくお願いします。

回答No.1

Kules · ベストアンサー

うーん…聞くからにめんどくさそうな(笑)
とりあえず数学っぽく解くことにしてみましょうか。
回転楕円体の回転軸をｘ軸とすれば、図形の回転対称性(こんな言葉があるかどうかはわかりませんが)
から立体ではなく平面で扱えばよさそうです。
すなわち、
「(x/a)^2+(y/b)^2=1で表される楕円において、一方の焦点から出た光はもう一方の焦点に至ることを示せ。」
を解けばいいことになります。
で、曲面からなる鏡に当たった光は、入射する点における接線を反射面として
反射の法則が成り立つ方向に進みます。
ということは、問題を解く方針としては、
1.まず片方の焦点を通る直線を何らかの形で表す(オーソドックスなところでいうと直線の傾きでしょうか。その場合はy軸に平行な直線の時を考える必要がありそうです。後は楕円との交点とかでもいいかもしれません)たとえば傾きを使うなら、焦点Aの座標(f,0)(f>0、x軸が長軸としています)として、
y=α(x-f)となります。
2.直線と楕円の交点Bを求める。
3.Bにおける、楕円の接線の傾きを求める。
4.接線に対して焦点Aと線対称な点A'を求める。
5.A'とBの２点を通る直線の式を求め、そのx切片を求める。
6.5.で求めたx切片がαによらず一定であることを示す。

でいけるはずです。計算はかなりめんどくさいですが。
他にもいい方法があるかもしれませんが、私は知りません。
もし数学のテストでこんな問題が出てきたら私ならこのように解くと思います。

長文失礼しました。参考になれば幸いです。