アフィン変換でR^2の直線は直線に移る、逆は成立するか？

質問

アフィン変換でR^2の直線は直線に移る、逆は成立するか？

R^2→R^2
(x,y)→(ax+by+c,dx+ey+d)
ただし、ae-bd≠0
というアフィン変換で、任意の直線は直線に移ります。

では、任意の直線が直線に移る変換は、アフィン変換に限られるのでしょうか？

ただし、変換の意味に全単射を含めるか含めないかですが、いちおう、簡単のために、含めるとしておきます。

ここで難しいと思っているのは、直線が直線に移るといっても、点の順番が保たれるとは限らないことです。

例えば、
R^2の点(1,0)と点(-1,0)を交換し、それ以外の点はそのままにする変換を考えます。
y=0という直線はy=0という直線に移りますが、x=1という直線は直線に移りません。1点だけが離れています。

直線上の点の順番が保たれないものがひとつでもあれば、ある直線は直線に移らないことだろうとは思うのですが、
そのへんをうまく示すことが出来ません。
どうかお力をお貸し願えたらと思います。

回答No.2

koko_u_u

ということは、証明のアウトラインとして

「任意の直線が直線に移る」
⇒「直線上の点の順番が保たれる」 …(1)
⇒「そのような変換はアフィンである」…(2)

という方針ですか？

(1)が難しい、とのご質問ですが、(2)は証明できているのでしょうか？

お礼

「任意の直線が直線に移る」
⇒「直線上の点の順番が保たれる」
⇒「直線上の点の距離の比も保たれる」
⇒「そのような変換はアフィンである」

ということも考えましたが、どれも証明できていません。すみません。

回答No.1

koko_u_u

とりあえず、何に困難を感じているかがわかりません。

>直線が直線に移るといっても、点の順番が保たれるとは限らないことです。
「点の順番」とは何でしょうか？
例えばとして例に挙げている内容からはそれを読み取ることができません。

お礼

R^2の点(1,0)と点(-1,0)を交換し、それ以外の点はそのままにする変換を考えます。
y=0という直線はy=0という直線に移ります。
その中で、(0,0),(1,0),(2,0)はそれぞれ(0,0),(-1,0),(2,0)に移ります。
たとえば、(1,0)は(0,0)と(2,0)の間にありましたが、移った先では、
(-1,0)は(0,0)と(2,0)の間にありません。
そいった場合を、点の順番が保たれない、と表現しています。