|z+4i| + |z-4i| = 10 の問題についてです

質問

|z+4i| + |z-4i| = 10　をみたすzの集合は複素平面上でどのような図形かという問題です。
　直感的には4iと-4iを通る楕円になると思うのですが式で解くことができません(円になっちゃいます)。|α|=√(α * αバー)ですよね？ご教授ください。

回答No.3

postro · ベストアンサー

泥臭い方法ですが、
ｚ=x+yi とおけば、
|z+4i| =|x+(y+4)i |=√(x^2+y^2+8y+16)
|z-4i| =|x+(y-4)i |=√(x^2+y^2-8y+16)
∴√(x^2+y^2+8y+16)=10-√(x^2+y^2-8y+16)
両辺二乗して
x^2+y^2+8y+16=100-20√(x^2+y^2-8y+16)+x^2+y^2-8y+16
整理すると
√(x^2+y^2-8y+16)=5-(4y/5)
両辺二乗して
x^2+y^2-8y+16=16y^2/25 -8y +25
整理すると
x^2/9 +y^2/25 = 1
ということで楕円になりました

お礼

完璧な解をわざわざすいません。とても嬉しいです。ありがとうございました。

回答No.2

Rossana

>直感的には4iと-4iを通る楕円になると思うのですが
その通りです．
ガウス平面で考えると，
2点F(4i)，F'(－4i)からの距離|z－4i|，|z＋4i|の和が一定(=10)ということで，これは楕円の定義ですね．

円かどうか確かめるために離心率eを計算してみると
e＝4/5＜1でe≠0なので，円ではなく楕円ですね．

＞式で解くことができません
z＝x＋yiを入れて頑張ります．
＞|α|=√(α * αバー)ですよね？
Yes.ですが，それを使うとルートが入って計算が手詰まりになりますね．（まあ，ド・モアブルの定理を駆使すればできないことはなさそうだけど非常に面倒くさそう．）それではなく|α|＝√{(Reα)^2＋(Imα)^2}を使いましょう．
ルートが二箇所出てくるので，まずはルートを一方だけ左辺か右辺に移しといて二乗そして，1つになったルートを左辺か右辺に移しといて二乗とやったら計算できませんか？4次式になるから大変かも．もっといい方法があるかもしれませんね．

お礼

もう一度z=x+yiでがんばってみます。Reα～Imα～　についてもやってみます。ありがとうございます。わざわざすいません。

回答No.1

noname#24477

-4iと4iからｚまでの距離の和が１０ということなので
２点を焦点とする楕円です。（通るではない）

困ったときはz=x+yiと置いて、力勝負という手も
あります。

お礼

素早い回答ありがとうございます。焦点でしたね。勘違いしてました。しかも力技の途中で計算ミスしたりと駄目駄目でした。もう一度やってみます