三角形と外接円、線分比の問題です。

質問

こんにちは。
問題は画像に載せたものなのですが、（１）は問題なく出来ました。
（２）なのですが、外接円の半径をRとして△OCB=R^2・sinβcosβと△OCB=R^2・sinαcosαと求めるところまでは分かったのですが、そこからAD:DB=△OCA:△OCB=sinβcosβ:sinαcosαとなる理由が分かりません。
なぜ△OCAと△OCBの面積比とADとDBの線分比が一致するのでしょうか？
それさえ分かれば、あとはベクトルの内分の計算にもっていけるので問題ないのですが・・・。
よろしくお願いします。

回答No.3

banakona · ベストアンサー

ＡからＣＤに垂線を引き、直線ＣＤとの交点をＦとし、
ＢからＡＦに垂線を引いて、直線ＡＦとの交点をＥとします。
当然、ＤＦ//ＢＥとなります。

△ＯＣＡと△ＯＣＢはＯＣが共通なので、これらの面積比はＯＣを両者の底辺としたときの高さの比と同じ。
△ＯＣＡの高さはＡＦ、△ＯＣＢの高さはＦＥとなります。
つまり　△ＯＣＡ：△ＯＣＢ＝ＡＦ：ＦＥ　・・・（１）

一方、△ＡＢＥで、ＤＦ//ＢＥなので
　　ＡＦ：ＦＥ＝ＡＤ：ＤＢ　・・・（２）

（１）（２）より　△ＯＣＡ：△ＯＣＢ＝ＡＤ：ＤＢ

お礼

延長線を引いて相似の直角三角形を作るという発想が素晴らしいです。図も入れていただきありがとうございました！とても分かりやすかったです。

回答No.2

pascal3141

△DCA：△DCB＝△DOA：△DOB＝AD：DB（いずれも高さが同じだから）
よって、△DCA＝mAD,△DCB＝mDB,△DOA＝nAD,△DOB＝nDBとおける。
よって、△OCA：△OCB＝(△DCA-△DOA)：(△DCB-△DOB)＝(mAD-nAD)：(mDB-nDB)＝AD：DB

お礼

なるほど。この方法ならすっきりと簡潔に書くことが出来ますね。回答ありがとうございました！

回答No.1

owata-www

＞なぜ△OCAと△OCBの面積比とADとDBの線分比が一致するのでしょうか？
△ＣＡＤ：△ＣＢＤ＝ＡＤ：ＤＢはおわかりですよね？

△ＯＣＡ＝△ＣＡＤ×ＣＯ／ＣＤ
△ＯＣＢ＝△ＣＢＤ×ＣＯ／ＣＤ

なので、
△ＯＣＡ：△ＯＣＢ＝△ＣＡＤ×ＣＯ／ＣＤ：△ＣＢＤ×ＣＯ／ＣＤ＝△ＣＡＤ：△ＣＢＤ＝ＡＤ：ＤＢ
です

お礼

恥ずかしながら△ＣＡＤ：△ＣＢＤ＝ＡＤ：ＤＢを使うことに気づきませんでした。二等辺三角形ということだけに目がいってしまって・・・。納得できました。ありがとうございました！