「微分方程式 x+yy'=2y を解け」という問題について素朴な疑問が

質問

「微分方程式 x+yy'=2y を解け」という問題について素朴な疑問があります。

同次形であることは分かるのですが、素直にu=y/xで置いても良いのでしょうか？
というのもxは独立変数であり、0という値も取ると考えられます。
u=y/xと置くと「xは0でない」というのが仮定されてしまいます。

x≠0とx=0とで場合分けをするべきでしょうか？
もしも場合分けするべきであるのならば、x=0の場合の手順を教えていただきたいです。

よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

重要なことに気がつきましたね。
そういうことをイイカゲンにする人が多いんです。

u = y/x と置いた …ということは、
x ≠ 0 の条件下に解いてみた …ということです。
それによって、x > 0 と x < 0 の各範囲での解が求まります。

x > 0 の範囲での解で x → +0 の極限が収束するものと、
x < 0 の範囲での解で x → -0 の極限が収束するものとを
x = 0 でつなげて、x → 0 で収束する関数を作ることができれば、
そのような y には、x = 0 を含む範囲での解である可能性があります。
x = 0 での dy/dx を考え、実際に解になっているか確認すれば完了です。

お礼

こんばんは！迅速で丁寧な回答ありがとうございました！
本やネットで調べてみたのですが、
あまりにも基本的すぎる疑問なのか、有力な情報が無かったのです。
おかげで勉強にも力を入れることができます！
本当にありがとうございました！！

お二方に同じようにポイントをつけたいところですが、
それはできないみたいなので、新着順とさせていただきました。

回答No.2

Tacosan

「x で微分する」という操作が入っている以上「恒等的に x=0」はありえないから, 「x は 0 でない」といっていいといえばいい.
もしくは, もっとシンプルに y = ux とおけばいいだけ. これでも x が因数に出るけど, 恒等的に 0 とはならないので割ることができる.

お礼

こんばんは。
こんなにも早く回答していただき感謝しています！

「微分する」という言葉の意味を改めて復習してきました。
たしかに定義域が1点だけだと、微分というのが意味を成さなくなりますね。
こういう何気ない言葉を確認するといった意味でもとても勉強になりました。

本当にありがとうございました！

本当は回答してくださったお二方に、
同じようにポイントを差し上げたいところですが、
それはできないみたいので、新着順とさせていただきました。
ご了承ください。