√－9の答えについて教えてください。√9i＝±3iと回答して×になりま

質問

√－9の答えについて教えてください。√9i＝±3iと回答して×になりました。答えは3iだそうですがどうして±3iではないのですか？わかりやすくお願いします。

回答No.15

bgm38489 · ベストアンサー

９の平方根は±３である。ところが、√９＝＋３。これは、９の平方根のうち、プラスの数を表わしている。√９は-３は含まない。ただそれだけ。
これが分かれば、虚数だろうが、何だろうが…

お礼

－3は含まない。ただそれだけなんですね。難しく考えていたかもしれません。ありがとうございました

回答No.30

noname#111804

exp の周期性に注意して、
√(-i) = √exp｛ (3/2)πi + 2πi ｝

右辺が誤り。exp（２πi）の演算を勝手にやってはいけない。

= exp｛ (1/2)((3/2)πi + 2πi) ｝
= exp( (3/4)πi )・exp( nπi )
=｛ cos( (3/4)πi ) + i・sin( (3/4)πi ) ｝・｛ exp(πi) ｝~n
= (-1/√2 + i/√2)・(-1)~n
ただし、n は任意の整数。
要は、±(-1/√2 + i/√2) ってことです。

回答No.29

B-juggler

合ってはいるんでしょうけれど、高校レベルの回答では×なのかな？

複素数はテリトリーから少し離れるから詳しくは分からないけど、

√（-９）＝√｛（－１）（±３）＾２｝＝±３×ｉ

単純にこれでいいと思うけど。

こういうのは困りますねぇ～、大学では違うとか、高校では違うとか。

一致させてもらえないかなぁ～　ｍ（＿　＿）ｍ

回答No.28

alice_44

他の場所で不連続になるように枝を構成する
という選択肢も、当然ありえる訳です。
負実数で不連続になるように切るやり方は、
正数の √ が正という規約ほど
広く流通している訳ではないし、
そのようにすると一言断らずに
使ってかまわない性質のものでは
ありません。

回答No.27

muturajcp

iは虚数単位
a+b*i,x+y*i を複素数とする
(x+y*i)^2=a+b*i 　かつ (x>0 または(x=0 かつ　y≧0))　のとき
√(a+b*i)=x+y*i と定義すれば、
√-9=3i となります。
ただし、複素関数√(a+b*i)　は　a<0 , b=0 で不連続関数となります。

回答No.26

alice_44

exp の周期性に注意して、
√(-i) = √exp｛ (3/2)πi + 2πi ｝
= exp｛ (1/2)((3/2)πi + 2πi) ｝
= exp( (3/4)πi )・exp( nπi )
=｛ cos( (3/4)πi ) + i・sin( (3/4)πi ) ｝・｛ exp(πi) ｝~n
= (-1/√2 + i/√2)・(-1)~n
ただし、n は任意の整数。
要は、±(-1/√2 + i/√2) ってことです。

問題は、その ± のどちらを採れば
√(-9) = 3i との相性がよいのか？ということ。

｜z｜= 一定 という円周に沿って、ぐるっと
一周分の √z を考えてみると吉。

回答No.25

noname#111804

質問者は高校生と思えるのだが、わたくしが高校生のころは
教師から×をもらったら、おとなしく引き下がったものだ。

ところが、この質問者は、×に疑問を持ったようだ。
彼の頭の中には”複素代数系”が夢想されつつあったのか？

いやそうではない。実は彼のような疑問に答えるべく
発展してきたのが、複素代数学だからだ。

実数で成り立つ
√（A・B）＝（√A）・（√B）
は複素数でも成り立つ。つまり、A,Bが負数でもなりたつ。

理由は簡単に説明すると
”９”と言う実数は”±３＋0i”と言う複素数であるからだ。

回答No.24

noname#111804

√-i
＝√[exp(πi）exp（πi/２）]
＝√[exp（３πi/２）]
＝[exp（３πi/４）]
＝cos（３π/４）＋isin（３π/４）
＝-(1/√２）＋i(1/√２）

回答No.23

alice_44

←No.21

石谷 茂 だからって、書いたことが全て正しいとは限らない。
特に「∀と∃に泣く」は、ゆとり以前の高校教程が確立する前
の時期に書かれたものだから、「高校生向き」という配慮が
今となっては裏目に出ている箇所もある。

√z を、値は虚数になってもよいが、定義域は実数に限る
という中途半端なものに制限した場合、
z＞0 のとき √z＞0 という規約の同類として、
z＜0 のとき √z＝(√-z)i と規約することはできる。
このスレでも数人が指摘しているように √(AB)＝(√A)(√B) が
成立しなくなるだけで、特に矛盾も生じない。
実係数代数方程式の解としてしか複素数に触れる機会がないなら、
そのような中途半端な √ にも、確かに需要はある。

しかし、z に任意の複素数を代入しようとすると、それでは
ちょっと都合が悪いのだ。
No.12 で訊ねた「√(-i) を x+yi の形に表示」も考えてみて欲しい。

回答No.22

alice_44

←No.19 (横槍)

√z を複素関数として扱うときには、２価の多価関数であって、
z に代入した値がタマタマ正の実数である場合にも、値は２つある。
よって、関数の枝の選択しだいで、√1 = 1 となる場合も
√1 = -1 となる場合もある。
それをまとめて √1 = ±1 と書いてしまうと、質問氏のように
×をくらうことがあるのかもしれない。採点者の見識と性格によっては。

回答No.21

noname#227064

∀(すべて)と∃(存在)に泣く―数学の盲点とその解明（石谷 茂, 現代数学社) に「ルートの中は虚数でもよいか」という章があり、複素数zの二つの平方根のうちどちらを√zで表すかということに触れられています。
それによると、z<0の場合√z = (√-z)iとはっきり定められているそうです。