- ベストアンサー
√－9の答えについて教えてください。√9i＝±3iと回答して×になりま
√－9の答えについて教えてください。√9i＝±3iと回答して×になりました。答えは3iだそうですがどうして±3iではないのですか？わかりやすくお願いします。
- みんなの回答 （30）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
９の平方根は±３である。ところが、√９＝＋３。これは、９の平方根のうち、プラスの数を表わしている。√９は-３は含まない。ただそれだけ。 これが分かれば、虚数だろうが、何だろうが…
その他の回答 (29)
√[（－１）（－１）] ＝√[exp（πi）exp（πi] ＝√[exp（２πi）] ＝√１ であって √１＝√exp（４πi）ではない。
- Rice-Etude
- ベストアンサー率46% (122/261)
＃すみません、ルール違反です。 sakurada6さん、No.18の件で教えてください。 √exp(θi)＝exp((θ/2)i)---(a) が成立するという定義（これが成立するかどうかは今は置いておきます）があるという前提で > √１ > ＝√exp（２πi） > ＝［exp（２πi）］＾(1/2） > ＝exp（πi） > ＝－１ を導き出されていると解釈しました。もしこの解釈が間違いでないとした場合 √１ ＝√exp（４πi） ＝［exp（４πi）］＾(1/2） ＝exp（２πi） ＝１ も成立する（複素平面における極形式において、(a)でのθの範囲は実数全域を取れるため）と思うのですが、これについてはいかがですか？
［√（ー１）（－１）］＝（√ー１）（√ー１）はなりたつ。 √１＝１が誤り。・・・・（１） （√１）＾２＝√［（１）＾２］＝１はただしい。 （１）の説明 √１ ＝√exp（２πi） ＝［exp（２πi）］＾(1/2） ＝exp（πi） ＝－１
- Rice-Etude
- ベストアンサー率46% (122/261)
No.2です。 『通常』（←これが一番やっかいなところですが）、正の実数αに対し、√αは「2乗してαとなる実数のうち正の数」と定義されます（√0は0とします）。よって√α＞0であり、αの平方根は±√αとなります。 ここで複素数領域まで拡張したとき、負の実数βに対し、「√β＝(√|β|)i」と置かれます。よって√-9＝(√|-9|)i＝(√9)i＝3iとなります。 ただし、これはあくまで「一般的な解釈」であり、記号（√）を再定義したうえで議論するのであればこの限りではなくなります。結局はこの最初の定義をどのようにしているかというところにかかってきます。 なお、複素数領域まで拡張した際にf(x)＝√xと定義した場合、一般的にf(x)f(y)＝f(xy)は成り立ちません※。 ※もしf(x)f(y)＝f(xy)が成立するとなると -1＝i・i＝√-1・√-1＝√(-1)(-1)＝√1＝1 となり矛盾が出てきます。
お礼
√αは２乗してαとなる実数のうち正の数・・・というのが頭にありませんでした。中学のころ9の平方根は±3と習ったのがずっと頭にあって。複素数領域とかそんな高レベルの質問ではなかったんです。すみません。
√９＝±３・・・・・（１） である。 なぜなら、両辺を２乗してみるとよい。 ９＝９が成り立つ。 つまり、（１）式が正しいことが証明された。
√－9 =√9i =［（√３）ｘ（√３）］i ＝［３］i ＝＋３i √－9 =√9i =（√ー３）（√ー３）i ＝［{（√３）i}＾２］i ＝［３(i）＾２］i ＝－３i ゆえに √9i＝±3i
√－9 =√9i =（√ー３）（√ー３）i ＝{（√３）i}＾２(i） ＝３(i）＾２(i) ＝－３i
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
√(-9) = (√9)i で定義して話が進められる と思うのであれば、ぜひ、その話の延長上で √(-i) を x+yi の形に表示してみて欲しい。 そのとき「おや？」と思うだけのセンスがあれば、 √(-9) の答えも、きっと見つけることができる。
- xNekoNyanx
- ベストアンサー率34% (239/689)
う～ん、確かにここのご意見を参考に見直してみましたところ、厳密に言えば±3iが正しいと言えそうですが、しかし虚数という特性上それがまた正しいとも思えないのです。 難があるとしたら、√-9という数は√-9という絶対的な数なのであって、√9*iと同じたり得ず、したがってそもそも±3iという表記に変換しようとすることにそもそも無理がある、といったところでしょうか。 ということで、もう少し視点を変えて考えてみましょう。 そもそも、数値を定義するとはどういうことか？ それは例えば二次関数であれば、xy平面上に任意の点を取るということでしょう。 では、√-9という数値を定義するということはというと・・・ 複素数平面上の任意の点を取る（住所を決めてやる）ということになります。 ここで√-9をどう考えるかということですが・・・ これは要するに虚数軸のどちらにどれだけの大きさのベクトルを持っているかということになるでしょう。 さて、そこで√-9を虚数軸上のベクトルとして考ると、これはi*√9なので、虚数軸のプラス方面に|√9|進んだ数ということになります。 逆に「-3i」という住所を考えた場合、それはi*-√9でなければならず、仮に√-9=-3iを成り立たせるとしたら√9=-3でなければいけません。したがって、複素数平面上で√-9を定義する場合、虚数軸のプラス方面に√9(=3)コぶん進んだ数という認識をすべきことになります。 要するに、虚数i=√-1と定義している以上、計算式で考えるときりがないので、平面上での点として捉えたほうがわかりやすいのではないかと。 例えば√-9=√9i=±3iとした場合、これは即ち「3i=-3i」を主張するのと同義であり、踏み込んで言えばこれも数式上では証明できるのかも知れませんが、少なくとも複素数平面上では3i≠-3iであることは一目瞭然ですよね。 そもそも虚数は実数ではないので、実数の一般認識上で考えることに無理があり、むしろ複素数平面という盤上で論じるところに価値があると考えているのですが、どうなのでしょうか。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
あるいは、±3i という書き方が、 説明不足で意味不明と受けとられた のかもしれない。 きちんと… √(-9) = 3i または √(-9) = -3i のどちらか であるが、どちらであるかを決めるには、 複素関数 √ の枝を、あらかじめ指定 していなければならない。 枝の指定がなければ、そもそも √(-9) という式の意味が定義できてない。 …と、答案に書けばよかったのかも。 √(-9) = 3i が完全に×なのに比べ、 √(-9) = ±3i なら間違いとも言いきれない 気がするけれども。×なのかねぇ…
お礼
－3は含まない。ただそれだけなんですね。難しく考えていたかもしれません。ありがとうございました