すごく緊急です！わかる方お願いします。

質問

すごく緊急です！わかる方お願いします。
cos20°が無理数であることを途中まで証明してあるので続きを書けという問題です。

問題
3倍角公式を用いて
cos60°=4(cos20°)^3-3cos20°
　　→8(cos20°)^3-6cos20°=1
cos20°=x
cos20°は8x^3-6x=1の解…(1)
(1)が有理数解を持たないことを示せばよい。
2x=zとおくとz^3-3z=1…(2)

この続きがわかりません。よろしくお願いします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

背理法で証明できます。

z^3-3z=1　が有理数解を持つとして、
z=m/n（m/nは既約分数）とすれば、
(m/n)^3-3m/n=1
m(m^2-3n^2)=n^3

あとは御自分で。

mとnとは同じ素因数を持たないことから、矛盾が導かれます。

お礼

助かりました！有難うございます。