不定方程式に詳しい方、2y^2=x^2+z^2を・・・

質問

3つの平方数x^2,y^2,z^2が等差数列になるとき、つまり、

2y^2=x^2+z^2

の整数解を求めたいのですが、いい証明方法は無いでしょうか?

x^2=1,y^2=24,z^2=49

という解はあるのですが、自明解を除きそれ以外にあるかどうか厳密に知りたいのです。

どうかよろしくお願いいたします。

回答No.4

Mr_Holland · ベストアンサー

＃２さんの変形で、ピタゴラス数を求める問題に帰着しますので、あとは下記のサイトをご覧になってください。
　無数にあります。
http://club.pep.ne.jp/~asuzui/page9.html

　　4y^2＝(x+z)^2+(x-z)^2
　2X＝x+z, 2Z=x-z と置くと、
　　y^2＝X^2+Z^2

お礼

たいへんありがとうございます。
すばらしい回答にびっくりです。

回答No.5

yoikagari

x^2+y^2=z^2の解法については、例えば
http://www.geocities.jp/zt_manda/math/proof_pytha.htm
をご覧ください。

回答No.3

koko_u_

掛け算を間違えた。。。orz

2(x^2 + z^2) = (x+z)^2 + (x-z)^2

お礼

たいへんありがとうございます。
すばらしい回答にびっくりです。

回答No.2

koko_u_

しまった、おおげさすぎた。

x^2 + z^2 = 2{(x+z)^2 + (x-z)^2} だったよ。

回答No.1

koko_u_

2y^2 = x^2 + z^2 を -i((1+i)y)^2 = (x + iz)(x - iz) と変形して、
素元分解環 Z[i] を考えれば良いと思う。(計算してない)

お礼

ありがとうございます。質問で書いた
2y^2=x^2+z^2
の自明でない整数解は
x^2=1,y^2=25,z^2=49
が正しいです。
間違えて記載して済みません。